回転軸を含む平面にない平面図形の回転体の体積を一瞬で求める方法

$l$と垂直な平面$\beta$において，${\alpha }^{\prime }$の切り口を直線$m$，$A$の切り口を線分$PQ$とする．定義より$m$と直線$PQ$は平行である．$l$と$\beta$の交点を$O$,$O$から直線$PQ$に下ろした垂線の足を$H$とする．また，$P,Q$から$m$に下ろした垂線の足をそれぞれ$P^{\prime },Q^{\prime }$とする．すなわち線分$P^{\prime }{Q}^{\prime }$は平面$\beta$での$A^{\prime }$の切り口である．これらに対し，線分$PQ,P^{\prime }{Q}^{\prime }$を$O$まわりに回転したときにそれぞれの線分が描く図形$F,F^{\prime }$の面積$S,S^{\prime }$が$S=S^{\prime }$を満たすことを示せば良い．

1. 点$H$が線分$PQ$上にある場合
   $PH\ge QH$であるとして一般性を失わない．
   $F$は半径$OH,OP$の同心円で囲まれた部分であり，$F^{\prime }$は半径$O{P}^{\prime }$の円板だから，
   $$S=\pi (O{P}^2-O{H}^2)=\pi H{P}^2=\pi O{P}^{\prime 2}=S^{\prime }$$

2. 点$H$が線分$PQ$上にない場合
   $H$は半直線$PQ$上にあるとして一般性を失わない．
   $F$は半径$OP,OQ$の同心円で囲まれた部分であり，$F^{\prime }$は半径$O{P}^{\prime },O{Q}^{\prime }$の同心円で囲まれた部分だから，
   $$\begin{gathered} S=\pi (O{P}^2-O{Q}^2)=\pi ((O{H}^2+H{P}^2)-(O{H}^2+H{Q}^2))= \\ \pi (H{P}^2-H{Q}^2)=\pi (O{P}^{\prime 2}-O{Q}^{\prime 2})=S^{\prime } \end{gathered}$$

以上より，$S=S^{\prime }$が成り立つので，定理1は示された．