tanの加法定理(多変数版)

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tanの加法定理の拡張

$e_{0} = 1, k > n \Rightarrow e_{k} = 0$ とし， $\tan x_{1}, \tan x_{2}, \dots, \tan x_{n}$ の $k$ 次の対称式を $e_{k}$ と表すとき，
$\tan (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}) = \frac{e_{1} - e_{3} + e_{5} - \dots}{e_{0} - e_{2} + e_{4} - \dots}$
が成り立つ．ただし $\tan$ の中身は $\frac{π}{2}$ の奇数倍にならないとする．

帰納法でも示せますが，ここでは複素数を使って証明します．

$x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ が実数であるとき，
$\prod_{k = 1}^{n} (\cos x_{k} + i \sin x_{k}) = \cos (x_{1} + \dots + x_{n}) + i \sin (x_{1} + \dots + x_{n})$
$∴ \prod_{k = 1}^{n} \cos x_{k} \prod_{k = 1}^{n} (1 + i \tan x_{k}) = \cos (x_{1} + \dots + x_{n}) {1 + i \tan (x_{1} + \dots + x_{n})}$
$∴ \prod_{k = 1}^{n} \cos x_{k} \sum_{k = 0}^{n} i^{k} e_{k} = \cos (x_{1} + \dots + x_{n}) {1 + i \tan (x_{1} + \dots + x_{n})}$
両辺の $\frac{虚部}{実部}$ をとって，
$\frac{e_{1} - e_{3} + e_{5} - \dots}{e_{0} - e_{2} + e_{4} - \dots} = \tan (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n})$
(正則関数の一致の定理から， $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ が複素数の範囲でも成立する)

エレガントです．

$\tan n x = \frac{_{n} C_{1} \tan x -_{n} C_{3} \tan^{3} x +_{n} C_{5} \tan^{5} x - \dots}{1 -_{n} C_{2} \tan^{2} x +_{n} C_{4} \tan^{4} x - \dots}$
ただし， $k > n$ のとき $_{n} C_{k} = 0$ とする．

$\sin$ や， $\cos$ の $n$ 倍角(チェビシェフ多項式)は規則性が少なく $n$ が大きいと扱いづらいのに， $\tan$ の $n$ 倍角はシンプルに表せるのは驚きです．

$e_{0} = 1, k > n \Rightarrow e_{k} = 0$ とし， $\tanh x_{1}, \tanh x_{2}, \dots, \tanh x_{n}$ の $k$ 次の対称式を $e_{k}$ と表すとき，
$\tanh (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}) = \frac{e_{1} + e_{3} + e_{5} + \dots}{e_{0} + e_{2} + e_{4} + \dots}$