ジャグリング可能なサイトスワップであるための必要十分条件

この条件は、$1$拍で$2$つ以上のボールを投げないという条件を表したものです。
そこで、サイトスワップ$T=(t_1,t_2,...,t_n)$はジャグリング可能だが、$1\leq i < j \leq n$なるある$i,j$が存在して、$i+t_i\equiv j+t_j\pmod{n}$であると仮定します。
$t_1$を投げる拍を$1$拍目として、$1$拍目よりも充分前の拍からジャグリングしているという仮定もします。（このような仮定は$T$がジャグリング可能であることから可能。）
すると、ある$d\in\Z$が存在して、$i+t_i=j+t_j+dn=j+dn+t_{j+dn}$です。
これは、$i$拍目と$j+dn$拍目に投げたボールが、$i+t_i$拍目まで$1$度も投げられることなく、どちらも$i+t_i$拍目に投げられることを意味しています。
これは、$1$拍のうちに$2$つ以上のボールを投げないというバニラサイトスワップの条件に反しているので、背理法により、定理の内容が従います。$\square$

まず、$S(T,s_0)$が有界であることを示す。
\begin{align} M=\max\left\{s_0,\max_{1\leq i\leq n}\{2^{t_i}-1\}\right\} \end{align}
とする。
任意の非負整数$i$に対し、$0\leq s_i\leq M$であることを示す。
$S(T,s_0)$が非負整数列であることから$s_i\geq 0$は明らか。
任意の非負整数$i$に対し、$s_i\leq M$であることを数学的帰納法で示す。
$i=0$のとき、$M$の定義より明らか。
$i>0$のとき、$s_{i-1}\leq M$だと仮定すると、帰納法の仮定と$M$の定義より、
\begin{align} s_i&{}=\frac{1}{2}\left(s_{i-1}-1+2^{t_i}\right) \leq \frac{1}{2}\left(M-1+2^{t_i}\right) \leq \frac{1}{2}\left(M+M\right) =M\\ \therefore s_i &{}\leq M \end{align}
したがって、任意の非負整数$i$に対して、$0\leq s_i \leq M$
これを用いて$S(T,s_0)$が周期数列であることを示す。
$S(T,s_0)$は有界な非負整数列だから、鳩ノ巣原理より、ある非負整数$i,j(i< j)$が存在して、$s_i=s_j$である。
ここで、漸化式を繰り返し用いれば任意の非負整数$k$に対して、
\begin{align} s_k=s_{k+(j-i)} \end{align}
が得られる。これは$j-i$が$S(T,s_0)$の周期の一つであることを表している。$\square$

$S(T,s_0)=\iseq{i}{0}{s_i}$と$S(T,s'_0)=\iseq{i}{0}{s'_i}$がどちらも非負整数列であるとする。
\begin{align} \begin{cases} s_i=\frac{1}{2}\left(s_{i-1}-1+2^{t_i}\right)\\ s'_i=\frac{1}{2}\left(s'_{i-1}-1+2^{t_i}\right)\\ \end{cases} &&(i=1,2,3,...) \end{align}
より、
\begin{align} s_i-s'_i&{}=\frac{1}{2}\left(s_{i-1}-s'_{i-1}\right)\\ \therefore s_i-s'_i&{}=\frac{1}{2^i}\left(s_0-s'_0\right) \end{align}
$i\rightarrow\infty$で$2^i\rightarrow\infty$だから、十分大きい$i\in\N$で
\begin{align} |s_i-s'_i|&{}=\left|\frac{1}{2^i}\left(s_0-s'_0\right)\right|=\frac{1}{2^i}\left|s_0-s'_0\right|<1 \end{align}
$\iseq{i}{0}{s_i}$と$\iseq{i}{0}{s'_i}$はともに整数列だから、$|s_i-s'_i|$も整数。
ところで、$0\leq|s_i-s'_i|<1$だから、$|s_i-s'_i|=0$
$|s_i-s'_i|=\frac{1}{2^i}\left|s_0-s'_0\right|$だったから、$s_0=s'_0$ $\square$

天下り的ですが、
\begin{align} s_0=-1+\dfrac{\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}}2^{t_k+k-1}}{2^n-1} \end{align}のとき
$\iseq{i}{0}{s_i}=S(T,s_0)\subset\Z_{\geq0}$であることを示します。
まず$s_0\in\Z_{\geq0}$を示しましょう。
$a\equiv b\pmod{n}$かつ$a\leq b$のとき、ある非負整数$c$が存在して$b=cn+a$だから、$2^b=(2^n)^c2^a\equiv1^c2^a=2^a\pmod{2^n-1}$です。
従って、定理の条件より
\begin{align} \sum_{k=1}^{n}2^{t_k+k-1}\equiv\sum_{k=1}^{n}2^{k-1}=2^n-1\equiv0\pmod{2^n-1} \end{align}
よって、$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}2^{t_k+k-1}}$は$2^n-1$の倍数です。また明らかに$s_0\geq0$なので$s_0\in\Z_{\geq0}$です。
漸化式に代入して計算すると、$s_1$は次のようななります。
\begin{align} s_1=-1+\dfrac{\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}}2^{t_{k+1}+k-1}}{2^n-1} \end{align}
同様に計算すると、帰納的に次の式が得られます。
\begin{align} s_i=-1+\dfrac{\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}}2^{t_{k+i}+k-1}}{2^n-1} \end{align}
$s_0\in\Z_{\geq0}$と全く同様に$s_i\in\Z_{\geq0}$が導かれます。
従って、$S(T,s_0)\subset\Z_{\geq0}$です。
ゆえに$i\neq j$かつ$1\leq i,j \leq n$なる任意の$i,j$に対して
\begin{align} i+t_i \not\equiv j+t_j \pmod{n} \end{align}
ならば$T$はジャグリング可能となります。$\square$