2023年度福島県高校入試の数学を解説

僕の地元なんでやります〜

問題は こちらから

大問1

(1)

①$-3$

②$-\frac{3}{4}+\frac{5}{6}$
$=\frac{-18}{24}+\frac{20}{24}$
$=\frac{1}{12}$

③$(-3a)\times (-2b{)}^3$
$=(-3a)\times (-8b^3)$
$=24a{b}^3$

④$\sqrt{8}-\sqrt{18}$
$=2\sqrt{2}-3\sqrt{2}$
$=-\sqrt{2}$

(2)

ある球の半径を$r$とおく
元の球の体積$V$は以下のように求められる
$V=\frac{4\pi r^3}{3}$
$r$を$2r$に置き換えると
$V^{\prime }=\frac{32\pi r^3}{3}$
ゆえに
$$\begin{gathered} \frac{V^{\prime }}{V} \\ =8 \end{gathered}$$
以上から、$8$倍

大問2

(1)

割合の意味から
$\frac{31}{100}a$ $mL$

(2)

$$\begin{gathered} 3x+2y-4=0 \\ 2y=-3x+4 \\ y=\frac{-3x+4}{2} \end{gathered}$$
$(y=-\frac{3}{2}x+2)$

(3)

$\angle B$の二等分線と辺$AC$との交点が$P$になります

(おまけ: 証明)

$\angle B$の二等分線と$辺AC$との交点を$P$とする
また、点$P$から辺$AB,AC$におろした垂線とそれぞれとの交点を$Q,R$とする
このとき
$$\begin{gathered} \angle PQB=\angle PRB=90°\dots \mathrm{①} \\ \angle PBQ=\angle PBR\dots \mathrm{②} \\ 線分PBは共通\dots \mathrm{③} \end{gathered}$$
$\mathrm{①},\mathrm{②},\mathrm{③}$より、直角三角形かつ斜辺と他の鋭角が等しいから
$△PBQ\equiv △PBR$
ゆえに、$PQ=PR$

(4)

$$\begin{gathered} \frac{4^2-1^2}{4-1} \\ =5 \end{gathered}$$

(5)

最小値は$2$以上$4$未満であるから、アは不適
また、データを小さい順に数えると、15番目, 16番目のデータはいずれも$8$回以上$10$回未満に位置する
すなわち第2四分位数はこの範囲に存在する
よって、イも不適
また、データを小さい順に数えたときに、8番目に位置するのは$4$回以上$6$回未満の階級である
すなわち第1四分位数はこの範囲に位置する
以上より、エ

大問3

(1)①

$(Aの出した数,Bの出した数)$とする
Aが景品を貰えるのは
$(2,1),(3,1),(3,2)$
の3パターン
玉の取り出し方は$3^2=9$通り
よって
$$\begin{gathered} \frac{3}{9} \\ =\frac{1}{3} \end{gathered}$$

(1)②

まずルール(ア)について考える
Aが景品を貰えないのは(1)①でないとき、すなわち
$$\begin{gathered} 1-\frac{1}{3} \\ =\frac{2}{3} \end{gathered}$$
次にルール(イ)について考える
Aが景品をもらえないのは$(1,2),(2,3)$の2通りである
このとき、玉の取り出し方は$2\times 3=6$通り(Aがどの玉を取り出した場合でもBの玉の取り出し方は2通りある)
よって、求める確率は
$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

$\frac{1}{3}<\frac{2}{3}$より、ルール(ア)のほうが大きい
その確率は$\frac{2}{3}$

(2)①

ご丁寧にも「$ad-bc$は同じ値になる」なんて書いてあるので一番簡単な左上で求めましょう
$$\begin{gathered} ad-bc \\ =9-16 \\ =-7 \end{gathered}$$

(2)②

一般化の問題ですね、面白いです

一段に並べる個数を$n$とおくと、$b,c,d$はそれぞれ$a,n$を用いて以下のように表せる
$b=a+1,c=a+n,d=a+n+1$
よって
$$\begin{gathered} ad-bc \\ =a(a+n+1)-(a+1)(a+n) \\ =a^2+an+a-a^2-an-n-a \\ =-n \end{gathered}$$
したがって、$ad-bc$は常に$-n$に等しい

大問4

$4人のグループの数をx,5人のグループの数をyとする$
$条件から$
$4x+5y=200\dots \mathrm{①}$
$6x+8y=314\dots \mathrm{②}$
$\mathrm{①},\mathrm{②}を解いて$
$x=15,y=28$
$これらは適している$
$よって$
$4人のグループの数は15$
$5人のグループの数は28$

大問5

福島数学大問5あるある、(2)があるときはむずい

(1)

$AC//DOより、平行線の錯覚は等しいから$
$\angle ACE=\angle ODE\dots \mathrm{①}$
$\angle CAE=\angle DOE\dots \mathrm{②}$
$円周角は等しいから$
$\angle ACE=\angle DBE\dots \mathrm{③}$
$\angle CAE=\angle BDE\dots \mathrm{④}$
$\mathrm{①},\mathrm{③}より、\angle ODE=\angle DBE\dots \mathrm{⑤}$
$\mathrm{②},\mathrm{④}より、\angle DOE=\angle BDE\dots \mathrm{⑥}$
$\mathrm{⑤},\mathrm{⑥}より、二組の角がそれぞれ等しいから$
$△EDO\backsim △EBD$

(2)

$△ACE\backsim △DOE$
$である$
$よって、nを自然数とすると$
$AE=7n,OE=9n$
$のように表せる$
$よって、$
$EB=(7n+9n)+9n$
$=25n$
$また$
$ED:EB=EO:ED$
$E{D}^2=25\times 9\times n^2$
$ED=15n$
$よって$
$△EDO:△EBD$
$=ED:EB$
$=15n:25n$
$=3:5$

大問6

共テ意識ですかね？
かなり新傾向な問題構成です

(1)

$C(2,2),B(2,\frac{1}{2})$
よって
$BC=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

(2)

平行四辺形の十分条件の一つ、__一組の対辺が平行で、その長さが等しい__を利用しましょう
$a$の値に関わらず$AD//BC$なので、その長さを等しくなるようにします
$C(2,2a),B(2,\frac{a}{2})$
なので
$$\begin{gathered} BC=|2a-\frac{a}{2}| \\ =|\frac{3}{2}a| \end{gathered}$$
$0<a<12$より
$BC=\frac{3}{2}a=6$
これを解いて
$a=4$

絶対値記号について

$|x|$は$x$の絶対値という意味です
例えば$|1|=1,|-3|=3,|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$です

(3)

まず、$a=1$のときの四角形$ADBC$の面積$S$を求めると
$$\begin{gathered} S=6\times \frac{11}{6}\times \frac{1}{2}+\frac{3}{2}\times \frac{11}{6}\times \frac{1}{2} \\ =\frac{55}{8} \end{gathered}$$
次に、一般の場合について考える
点$A$の$x$座標を$t$とおくと
$$\begin{gathered} \frac{a}{t}=6 \\ t=\frac{a}{6} \end{gathered}$$
よって
$A(\frac{a}{6},6),B(2,\frac{a}{2}),C(2,2a),D(\frac{a}{6},0)$
四角形$ADBC$の面積を$T$とすると
$$\begin{gathered} T=6\times \frac{12-a}{6}\times \frac{1}{2}+\frac{3}{2}a\times \frac{12-a}{6}\times \frac{1}{2} \\ =\frac{-a^2+8a+48}{8} \end{gathered}$$
求めるのは$S=T$のときだから
$$\begin{gathered} \frac{-a^2+8a+48}{8}=\frac{55}{8} \\ {a}^2-8a+7=0 \\ (a-1)(a-7)=0 \end{gathered}$$
よって
$a=7$

大問7

(1)

円錐の母線の長さを$x$とする
三平方の定理により
$$\begin{gathered} 1^2+(\sqrt{15}{)}^2=x^2 \\ 0<xより \\ x=4 \end{gathered}$$
したがって、母線の長さは$4$cm

(2)

円錐を展開した図において、扇形の中心角を$a$とすると
$$\begin{gathered} 4\times 2\times \frac{a}{360}\pi =2\pi \\ a=90° \end{gathered}$$
ひもの長さを$x$として、三平方の定理により
$$\begin{gathered} 4^2+4^2=x^2 \\ 0<xより \\ x=4\sqrt{2} \end{gathered}$$

(3)

円錐の展開図の扇形について、頂点から弦にひいた垂線の足を$P$とすると、この点$P$が面$ABCD$との距離が最も短くなる点である
その垂線の長さを$h$とすると
$$\begin{gathered} 4\times 4\times \frac{1}{2}=4\sqrt{2}\times h\times \frac{1}{2} \\ h=2\sqrt{2} \end{gathered}$$
点$P$と面$ABCD$の距離を$i$とし、相似を考えると
$$\begin{gathered} 2\sqrt{2}:4=i:\sqrt{15} \\ 4i=2\sqrt{30} \\ i=\frac{\sqrt{30}}{2} \end{gathered}$$
以上から、求める体積$V$は
$$\begin{gathered} V=2\times 2\times \frac{\sqrt{30}}{2}\times \frac{1}{3} \\ =\frac{2\sqrt{30}}{3} \end{gathered}$$

感想

完走した感想ですが、大問6に驚きました
共テを意識している感がめちゃくちゃします
あと大問7の難易度が昨年よりもちょっと上がってましたね
去年の福島数学が簡単すぎて正直今年舐めてました
全体的には、去年よりは難化ですね
多分今のとこ令和イチかな…？
来年も楽しみにしてます