級数

$\displaystyle{1-\frac{1}{4}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}+\cdots}$

$\displaystyle{=\Bigl[x-\frac{x^4}{4}+\frac{x^7}{7}-\frac{x^{10}}{10}+\cdots\Bigr]^1_0}$

$\displaystyle{=\int^1_0{(1-x^3+x^6-x^9+\cdots)dx}}$

$\displaystyle{=\int^1_0\frac{1}{1+x^3}dx}$

$\displaystyle{=\int^1_0\frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)}dx}$

$\displaystyle{=\frac{1}{3}\int^1_0\frac{1}{x+1}dx-\frac{1}{6}\int^1_0\frac{2x-1}{x^2-x+1}dx+\frac{1}{2}\int^1_0\frac{1}{x^2-x+1}dx}$

$\displaystyle{=\biggl[\frac{1}{3}\ln(x+1)-\frac{1}{6}\ln(x^2-x+1)+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\biggr]^1_0}$

$\displaystyle{=\frac{\sqrt{3}\pi}{9}+\frac{1}{3}\ln2}$

3行前の三項目の積分は分母を平方完成すればいいです.

よって答えは$\displaystyle{\frac{\sqrt{3}\pi}{9}+\frac{1}{3}\ln2}$です.

最後まで読んでくれてありがとうございます.