サイン極限の例のアレを証明する。

僕の記念すべきmathlog初投稿は例のアレの証明についてです。

【定理】
$\displaystyle\lim_{x\to0}\cfrac{\sin{x}}{x}=1 $

【証明】
導関数の定義を使う。
$\displaystyle\lim_{x\to0}\cfrac{\sin{x}}{x}=1 $

$\displaystyle = \lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}-\sin{0}}{x}$

$\displaystyle = \lim_{x\to 0}\frac{\sin{(0+x)}-\sin{0}}{(0+x)-0}$

$\displaystyle =\left. \frac{\mathrm{d}(\sin{x})}{\mathrm{d}x} \right|_{x=0}$

$=\cos{0}$

$=1$　(証明終)

【コメント】
この証明がめちゃ分かりやすくて好きです。