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自作置き場

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今まで作った問題のうち特に好きなものを置いてく.
初等幾何以外も作ってはいたけど, あまり趣味に合わなかったので全部没になった.
私は既出と未出の中間くらいの問題が好きなので, 既出の問題もあるかもしれない.

2020-5中

平行四辺形$ABCD$において, 点$E,F$はそれぞれ線分$AB,DA$上の点であり, $AE=AF$を満たす. 直線$EF$と直線$AC$の交点を$G$とすると, $\angle AGE=80^{\circ}$であった. 線分$BC$上に$HA=HC$を満たす点$H$をとったとき, $\angle BAH$の大きさを求めよ.
なお, $\angle BAC>\angle CBA$とする.


  • 載せるか迷ったけど, 人生初作問だったので記念に載せた.
2021-2初

一辺の長さが$10$の正方形$ABCD$の内部に線分$EF$を直径とする半円$\Gamma$がある. なお, 点$E,F$はそれぞれ線分$BC, CD$上の点である.
$B$から半円$\Gamma$に接線を引き, 直線$AD$との交点を点$G$とする.点$F$から直線$AB$へ垂線をおろし, 直線$BG$, 半円$\Gamma$との交点をそれぞれ点$H,I$とする.
$CF=\frac{15}{2}$, $\angle EFC+\angle AGB=120^{\circ}$であるとき,四角形$AHGI$の面積を求めよ.


  • 作問と競技を始めて2ヶ月位. JJMOの幾何が大体解けるようになってきたのもこの頃.
2021-3初

線分$AB$を直径とする円$\Gamma$上に互いに対蹠点となるような点$C,D$をとる.弧$ADB$上の点$E$に対し$CE\perp AF$となるような点$F(\neq A)$を円$\Gamma$上にとる. また, 直線$CE$$AB,AF$$CD$の交点を点$H,I$とする.
$CH:AI=4:3,BH:DI=2:3,AB=2$であるとき, 線分$DF$の長さを求めよ.


  • 特に書くことはない. この後ゲームにハマって数ヶ月数学や作問から離れる.
2021-11終

鈍角三角形$ABC$において, 点$C$から直線ABにおろした垂線の足を点$D$, 点$D$から直線$AC$におろした垂線の足を点$E$とする. また, 三角形$ABC$の外心を$O$とする.
三角形$ABC=10$, 三角形$OCE=6$であるとき, 三角形$BDC$の面積を求めよ. 


  • この頃の作問は構図重視の問題が多くなってきたけど, これがぶっちぎりできれいだった.
2022-12終

三角形$ABC$$AB=AC$の二等辺三角形である. 線分$AC$上に点$D$をとり, 三角形$BCD$の外接円を$\Gamma$ , 線分$BC$の中点を$M$とする. 直線$AM$を直線$BD$関して対称移動させた直線と円$\Gamma$との交点をそれぞれ点$P,Q$としたとき, $∠PBA=∠DQA$であることを示せ. なお, 点$P$は直線$AM$で分割された領域のうち$B$を含む領域上の点で, 点$Q$$C$を含む領域上の点である.


  • この一年間で作った唯一の問題. 天啓に見えて意外とロジックだって考えられているので見た目以上に難しいはず.
2023-4初

三角形$ABC$の外心を$O$, 三角形$OAB,OBC,OCA$の外心をそれぞれ$O_A,O_B,O_C$とする. 三角形$O_AO_BO_C$の外心は三角形$ABC$のオイラー線上にあることを示せ.

  • 制作時間1時間位. 正直なんもおもんない.
2023-9初

$O$を原点とする. $xy$平面上の点列$\{P_k\}_{k=1,2,3...}$
\begin{align*} \overrightarrow{OP_k}\cdot\overrightarrow{P_kP_{k+1}}=0,\quad \overrightarrow{P_kP_{k+1}}\cdot\overrightarrow{P_{k+1}P_{k+2}}>0,\quad |\overrightarrow{P_kP_{k+1}}|=\frac{1}{k+1},\quad P_1=(1,0),\quad P_2=\Bigl(1,\frac{1}{2}\Bigl) \end{align*}
により定めるとき, 以下の命題(*)の真偽を答え, その証明をせよ.
なお, $\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m^2}$がある正の値に収束することは自由に用いて良い.
\begin{align*} \text{命題:点列 }\{P_k\}\text{はある点Pに収束する. }\cdots (*) \end{align*}

  • 結構好き.
2024-5終

$m$を自然数として$f(x)$$m$次のモニック多項式とする.
(1)任意の自然数$n$に対して$\sqrt[\huge m]{f(n)}$が有理数となるとき, $f(x)$は有理数$r$を用いて$f(x)=(x+r)^m$と表されることを示せ.
(2)任意の無理数$\omega$に対して$\sqrt[\huge m]{f(\omega)}$が無理数となるような$f(x)$は存在しないことを示せ.

  • ごちゃごちゃさせすぎ.
投稿日:2023312
更新日:61

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sksk
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