自作整数問題＆解説

さっそく問題を

$以下の等式を満たす素数p,自然数kの組(p,k)を$
$すべて求めよ$
$k^2=p^k+1$

※以下にヒントあり

ヒント

解は$(p,k)=(2,3)$のみです


※以下に解答あり

解答例

$p^k=k^2-1$
$p^k=(k+1)(k-1)$
$pは素数であるから$
$k\equiv p-1\equiv p+1(\mathrm{mod}p)$
$すなわち、0\equiv 2(\mathrm{mod}p)$
$よって、p=2$
$これを与式に代入して$
$k^2=2^k+1$
$2^k=(k+1)(k-1)$
$ゆえに、k\equiv 1(\mathrm{mod}2)$
$よって、k=2a-1(aは自然数)とおくと$
$2^{2a-1}=4a(a-1)$
$2<aのとき$
$2^{2a-1}は1以外の奇数の約数を持たないが、$
$a,a-1のいずれかは1でない奇数となるため、$
$4a(a-1)は1以外の奇数の約数を持つことに$
$なる$
$したがって、a=1,2$
$a=1のとき、a-1=0となるため不適$
$a=2のとき、k=3$
$これは適している$

$以上から、解は$
$(p,k)=(2,3)$