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部分積分の繰り返し(反復部分積分)について【証明】

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表記について

この記事では以下の表記を使用する。数学の表記として正式なものではないので注意されたい

${\color{blue}f^{(n)}}$${\color{blue}f}$$n$回微分。${\color{blue}f^{(0)}}={\color{blue}f}$
${\color{red}g^{\lt n \gt}}$${\color{red}g}$$n$回積分。${\color{red}g^{\lt0\gt}}={\color{red}g}$
${\color{red}G}$${\color{red}g}$ の 原始関数。${\color{red}G}={\color{red}g^{\lt 1 \gt}}$
${\color{red}G^{\lt n \gt}}$${\color{red}G}$$n$ 回 積分。${\color{red}G^{\lt n \gt}}={\color{red}g^{\lt n+1 \gt}}$

部分積分の公式

部分積分の公式を以下に示す

部分積分

$$ \int\!\!{\color{blue}f}{\color{red}g}\,dx={\color{blue}f}{\color{red}G}\ - \int\!\!{\color{blue}f^{(1)}}{\color{red}g^{\lt 1 \gt}}\,dx$$

反復部分積分の公式

この記事では次の命題を証明することを目的とする
巷では瞬間部分積分、部分積分テーブル法、USA式部分積分などの名称でよばれることが多いらしい

反復部分積分

$$ \newcommand{\mycancel}[2]{{\color{#1}\cancel{{\color{black}#2}}}} \int {\color{blue}f}{\color{red}g} \ \mathrm{d}x=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k} \cdot {\color{blue}f^{(k)}} {\color{red}G^{\lt k \gt}}+(-1)^{n+1} \int {\color{blue}f^{(n+1)}} {\color{red}g^{ \lt n+1 \gt}} \ \mathrm{d}x $$

反復部分積分の証明

  1. 部分積分の公式 で出現した新たな積分について、さらに部分積分の公式を適用し新たな等式をつくる。
  2. 上記の操作を$n$ 回繰り返す
  3. $k$ 個目の等式の辺々に$(-1)^k$ をかける
  4. 等式の辺々について総和をとる

$$ \begin{alignat}{2} &(-1)^{0}\ \times & \qquad &\int {\color{blue}f^{(0)}}{\color{red}g^{ \lt 0 \gt}} \ \mathrm{d}x & &= \ {\color{blue}f^{(0)}} {\color{red}G^{\lt 0 \gt}} - \mycancel{rgba(161, 22, 22,0.8)}{\int {\color{blue}f^{(1)}} {\color{red}g^{ \lt 1 \gt}} \ \mathrm{d}x} \\ &(-1)^{1}\ \times & \qquad &\mycancel{rgba(161, 22, 22,0.8)}{\int {\color{blue}f^{(1)}}{\color{red}g^{ \lt 1 \gt}} \ \mathrm{d}x} & &= \ {\color{blue}f^{(1)}} {\color{red}G^{\lt 1 \gt}} - \mycancel{rgba(161, 22, 22,0.8)}{\int {\color{blue}f^{(2)}} {\color{red}g^{ \lt 2 \gt}} \ \mathrm{d}x} \\ &(-1)^{2}\ \times & \qquad &\mycancel{rgba(161, 22, 22,0.8)}{\int {\color{blue}f^{(2)}}{\color{red}g^{ \lt 2 \gt}} \ \mathrm{d}x} & &= \ {\color{blue}f^{(2)}} {\color{red}G^{\lt 2 \gt}} - \mycancel{rgba(161, 22, 22,0.8)}{\int {\color{blue}f^{(3)}} {\color{red}g^{ \lt 3 \gt}} \ \mathrm{d}x} \\ & && &\vdots & \\ &(-1)^{k}\ \times & \qquad &\mycancel{rgba(161, 22, 22,0.8)}{\int {\color{blue}f^{(k)}}{\color{red}g^{ \lt k \gt}} \ \mathrm{d}x} & &= \ {\color{blue}f^{(k)}} {\color{red}G^{\lt k \gt}} - \mycancel{rgba(161, 22, 22,0.8)}{\int {\color{blue}f^{(k+1)}} {\color{red}g^{ \lt k+1 \gt}} \ \mathrm{d}x} \\ & && &\vdots & \\ &(-1)^{n}\ \times & \qquad &\mycancel{rgba(161, 22, 22,0.8)}{\int {\color{blue}f^{(n)}}{\color{red}g^{ \lt n \gt}} \ \mathrm{d}x} & &= \ {\color{blue}f^{(n)}} {\color{red}G^{\lt n \gt}} - \int {\color{blue}f^{(n+1)}} {\color{red}g^{ \lt n+1 \gt}} \ \mathrm{d}x \\ \hline &&&\int {\color{blue}f}{\color{red}g} \ \mathrm{d}x & & =\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k} \cdot {\color{blue}f^{(k)}} {\color{red}G^{\lt k \gt}}+(-1)^{n+1} \int {\color{blue}f^{(n+1)}} {\color{red}g^{ \lt n+1 \gt}} \ \mathrm{d}x \end{alignat} $$

テーブル法

以下のような表を作成すると計算が分かりやすい
慣れてきたら徐々に省略していくと良い
最終的には表を作ることなく計算できることが望ましい

$k$$(-1)^k$$f^{(k)}$$G^{\lt k \gt}$$g^{\lt k \gt}$
$0$$+$${\color{blue}f}$${\color{red}G^{\lt 0 \gt}}={\color{red}g^{\lt 1 \gt}}$${\color{red}g}$
$1$$-$${\color{blue}f^{(1)}}$${\color{red}G^{\lt 1 \gt}}$
$2$$+$${\color{blue}f^{(2)}}$${\color{red}G^{\lt 2 \gt}}$
$3$$-$${\color{blue}f^{(3)}}$${\color{red}G^{\lt 3 \gt}}$
$\vdots$$\vdots$$\vdots$$\vdots$
$n$$(-1)^n$${\color{blue}f^{(n)}}$${\color{red}G^{\lt n \gt}}$
$n+1$$(-1)^{n+1}$${\color{blue}f^{(n+1)}}$---${\color{red}g^{\lt n+1 \gt}}={\color{red}G^{\lt n \gt}}$
投稿日:2023325

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tanu
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