部分積分の繰り返し（反復部分積分）について【証明】
表記について
この記事では以下の表記を使用する。数学の表記として正式なものではないので注意されたい
| ${\color{blue}f^{(n)}}$ | ${\color{blue}f}$の$n$回微分。${\color{blue}f^{(0)}}={\color{blue}f}$ |
| ${\color{red}g^{\lt n \gt}}$ | ${\color{red}g}$の$n$回積分。${\color{red}g^{\lt0\gt}}={\color{red}g}$ |
| ${\color{red}G}$ | ${\color{red}g}$ の 原始関数。${\color{red}G}={\color{red}g^{\lt 1 \gt}}$ |
| ${\color{red}G^{\lt n \gt}}$ | ${\color{red}G}$ の $n$ 回 積分。${\color{red}G^{\lt n \gt}}={\color{red}g^{\lt n+1 \gt}}$ |
部分積分の公式
部分積分の公式を以下に示す
$$ \int\!\!{\color{blue}f}{\color{red}g}\,dx={\color{blue}f}{\color{red}G}\ - \int\!\!{\color{blue}f^{(1)}}{\color{red}g^{\lt 1 \gt}}\,dx$$
反復部分積分の公式
この記事では次の命題を証明することを目的とする
巷では瞬間部分積分、部分積分テーブル法、USA式部分積分などの名称でよばれることが多いらしい
$$ \newcommand{\mycancel}[2]{{\color{#1}\cancel{{\color{black}#2}}}} \int {\color{blue}f}{\color{red}g} \ \mathrm{d}x=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k} \cdot {\color{blue}f^{(k)}} {\color{red}G^{\lt k \gt}}+(-1)^{n+1} \int {\color{blue}f^{(n+1)}} {\color{red}g^{ \lt n+1 \gt}} \ \mathrm{d}x $$
反復部分積分の証明
- 部分積分の公式 で出現した新たな積分について、さらに部分積分の公式を適用し新たな等式をつくる。
- 上記の操作を$n$ 回繰り返す
- $k$ 個目の等式の辺々に$(-1)^k$ をかける
- 等式の辺々について総和をとる
$$ \begin{alignat}{2} &(-1)^{0}\ \times & \qquad &\int {\color{blue}f^{(0)}}{\color{red}g^{ \lt 0 \gt}} \ \mathrm{d}x & &= \ {\color{blue}f^{(0)}} {\color{red}G^{\lt 0 \gt}} - \mycancel{rgba(161, 22, 22,0.8)}{\int {\color{blue}f^{(1)}} {\color{red}g^{ \lt 1 \gt}} \ \mathrm{d}x} \\ &(-1)^{1}\ \times & \qquad &\mycancel{rgba(161, 22, 22,0.8)}{\int {\color{blue}f^{(1)}}{\color{red}g^{ \lt 1 \gt}} \ \mathrm{d}x} & &= \ {\color{blue}f^{(1)}} {\color{red}G^{\lt 1 \gt}} - \mycancel{rgba(161, 22, 22,0.8)}{\int {\color{blue}f^{(2)}} {\color{red}g^{ \lt 2 \gt}} \ \mathrm{d}x} \\ &(-1)^{2}\ \times & \qquad &\mycancel{rgba(161, 22, 22,0.8)}{\int {\color{blue}f^{(2)}}{\color{red}g^{ \lt 2 \gt}} \ \mathrm{d}x} & &= \ {\color{blue}f^{(2)}} {\color{red}G^{\lt 2 \gt}} - \mycancel{rgba(161, 22, 22,0.8)}{\int {\color{blue}f^{(3)}} {\color{red}g^{ \lt 3 \gt}} \ \mathrm{d}x} \\ & && &\vdots & \\ &(-1)^{k}\ \times & \qquad &\mycancel{rgba(161, 22, 22,0.8)}{\int {\color{blue}f^{(k)}}{\color{red}g^{ \lt k \gt}} \ \mathrm{d}x} & &= \ {\color{blue}f^{(k)}} {\color{red}G^{\lt k \gt}} - \mycancel{rgba(161, 22, 22,0.8)}{\int {\color{blue}f^{(k+1)}} {\color{red}g^{ \lt k+1 \gt}} \ \mathrm{d}x} \\ & && &\vdots & \\ &(-1)^{n}\ \times & \qquad &\mycancel{rgba(161, 22, 22,0.8)}{\int {\color{blue}f^{(n)}}{\color{red}g^{ \lt n \gt}} \ \mathrm{d}x} & &= \ {\color{blue}f^{(n)}} {\color{red}G^{\lt n \gt}} - \int {\color{blue}f^{(n+1)}} {\color{red}g^{ \lt n+1 \gt}} \ \mathrm{d}x \\ \hline &&&\int {\color{blue}f}{\color{red}g} \ \mathrm{d}x & & =\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k} \cdot {\color{blue}f^{(k)}} {\color{red}G^{\lt k \gt}}+(-1)^{n+1} \int {\color{blue}f^{(n+1)}} {\color{red}g^{ \lt n+1 \gt}} \ \mathrm{d}x \end{alignat} $$
テーブル法
以下のような表を作成すると計算が分かりやすい
慣れてきたら徐々に省略していくと良い
最終的には表を作ることなく計算できることが望ましい
| $k$ | $(-1)^k$ | $f^{(k)}$ | $G^{\lt k \gt}$ | $g^{\lt k \gt}$ |
|---|---|---|---|---|
| $0$ | $+$ | ${\color{blue}f}$ | ${\color{red}G^{\lt 0 \gt}}={\color{red}g^{\lt 1 \gt}}$ | ${\color{red}g}$ |
| $1$ | $-$ | ${\color{blue}f^{(1)}}$ | ${\color{red}G^{\lt 1 \gt}}$ | |
| $2$ | $+$ | ${\color{blue}f^{(2)}}$ | ${\color{red}G^{\lt 2 \gt}}$ | |
| $3$ | $-$ | ${\color{blue}f^{(3)}}$ | ${\color{red}G^{\lt 3 \gt}}$ | |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | |
| $n$ | $(-1)^n$ | ${\color{blue}f^{(n)}}$ | ${\color{red}G^{\lt n \gt}}$ | |
| $n+1$ | $(-1)^{n+1}$ | ${\color{blue}f^{(n+1)}}$ | －－－ | ${\color{red}g^{\lt n+1 \gt}}={\color{red}G^{\lt n \gt}}$ |
