高校数学解説

近似式とその周辺（現在工事中）

この記事は2023年 3/26現在，工事中です．

近似式について

　 $x$ についての関数 $f (x)$ があまりにも複雑で，計算したくないとしましょう．そんなときこそ近似式です！複雑な計算をしなくても $x$ に値をぶっ込むだけでなんとなく近い値を得ることができます．

高等学校で習う近似式

　理系に進んだ高校生は以下の公式をよくみることでしょう．

一次近似

$f (x)$ は一階微分可能とする． $| x | ≪ 1$ のとき，
$f (x) \sim f (0) + f^{'} (0) x$
特に，
$(1 + x)^{α} \sim 1 + α x$

　上の公式(一次近似)は物理でよく見かけますね．あれ，物理．数学じゃない．あと， $0$ の周りでしか使えまいのも不便です(？)．次は $a$ の近傍での近似式を見ていきましょう．

一次近似2

$x$ が $a$ の近傍にあるとき，
$f (x) \sim f (a) + f^{'} (a) (x - a)$

　簡単な式変形で見ていきましょう． $x \sim a$ のとき，
$\frac{f (x) - f (a)}{x - a} \sim f^{'} (a)$
となります．両辺整理してあげると，上の公式になります．
　正直，これらの公式はあまり入試で見かけません．ですが，折角なら一次だけでなく $n$ 次にまで拡大しちゃいましょう♪

$n$ 次の近似

n

次近似

$f (x)$ は $n$ 階微分可能とする． $x$ が $a$ の近傍にあるとき，
$f (x) \sim \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)} (a)}{k!} (x - a)^{k}$

これは使う機会はないです．ただ，この公式の親分は非常に有名です．

Taylorの定理

$f (x)$ が $(n + 1)$ 階微分可能とする．このとき，
$f (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)} (a)}{k!} (x - a)^{k} + \frac{f^{(n + 1)} (a + θ (x - a))}{(n + 1)!} (x - a)^{n + 1}$
ただし， $0 < θ < 1$