この記事は2023年 3/26現在，工事中です．
$x$についての関数$f(x)$があまりにも複雑で，計算したくないとしましょう．そんなときこそ近似式です！複雑な計算をしなくても$x$に値をぶっ込むだけでなんとなく近い値を得ることができます．
理系に進んだ高校生は以下の公式をよくみることでしょう．
$f(x)$は一階微分可能とする．$|x|\ll 1$のとき，
$$f(x)\sim f(0)+f'(0)x$$
特に，
$$(1+x)^\alpha \sim 1+\alpha x $$
上の公式(一次近似)は物理でよく見かけますね．あれ，物理．数学じゃない．あと，$0$の周りでしか使えまいのも不便です(？)．次は$a$の近傍での近似式を見ていきましょう．
$x$が$a$の近傍にあるとき，
$$f(x) \sim f(a)+f'(a)(x-a)$$
簡単な式変形で見ていきましょう．$x\sim a$のとき，
$$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\sim f'(a)$$
となります．両辺整理してあげると，上の公式になります．
正直，これらの公式はあまり入試で見かけません．ですが，折角なら一次だけでなく$n$次にまで拡大しちゃいましょう♪
$f(x)$は$n$階微分可能とする．$x$が$a$の近傍にあるとき，
$$f(x) \sim \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$$
これは使う機会はないです．ただ，この公式の親分は非常に有名です．
$f(x)$が$(n+1)$階微分可能とする．このとき，
$$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + \frac{f^{(n+1)}(a+ \theta (x-a))}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} $$
ただし，$0 <\theta<1$
Taylorの定理の剰余項はいくつかの表記の仕方がありますが，この記事ではLagrange剰余項で記すものとします．
Taylorの定理の証明は
こちら
をご覧ください．(以前，学校の課題で作成したpdfをそのまま用いています．)
ここまでくるとただの解析学ですね．実用性がないので次にいきましょう．