0

近似式とその周辺(現在工事中)

10
0
$$$$

この記事は2023年 3/26現在,工事中です.

目次

近似式について

 $x$についての関数$f(x)$があまりにも複雑で,計算したくないとしましょう.そんなときこそ近似式です!複雑な計算をしなくても$x$に値をぶっ込むだけでなんとなく近い値を得ることができます.

高等学校で習う近似式

 理系に進んだ高校生は以下の公式をよくみることでしょう.

一次近似

$f(x)$は一階微分可能とする.$|x|\ll 1$のとき,
$$f(x)\sim f(0)+f'(0)x$$
特に,
$$(1+x)^\alpha \sim 1+\alpha x $$

 上の公式(一次近似)は物理でよく見かけますね.あれ,物理.数学じゃない.あと,$0$の周りでしか使えまいのも不便です(?).次は$a$の近傍での近似式を見ていきましょう.

一次近似2

$x$$a$の近傍にあるとき,
$$f(x) \sim f(a)+f'(a)(x-a)$$

 簡単な式変形で見ていきましょう.$x\sim a$のとき,
$$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\sim f'(a)$$
となります.両辺整理してあげると,上の公式になります.
 正直,これらの公式はあまり入試で見かけません.ですが,折角なら一次だけでなく$n$次にまで拡大しちゃいましょう♪

$n$次の近似

$n$次近似

$f(x)$$n$階微分可能とする.$x$$a$の近傍にあるとき,
$$f(x) \sim \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$$

これは使う機会はないです.ただ,この公式の親分は非常に有名です.

Taylorの定理

$f(x)$$(n+1)$階微分可能とする.このとき,
$$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + \frac{f^{(n+1)}(a+ \theta (x-a))}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} $$
ただし,$0 <\theta<1$

剰余項について

Taylorの定理の剰余項はいくつかの表記の仕方がありますが,この記事ではLagrange剰余項で記すものとします.

 Taylorの定理の証明は こちら をご覧ください.(以前,学校の課題で作成したpdfをそのまま用いています.)
 ここまでくるとただの解析学ですね.実用性がないので次にいきましょう.

投稿日:2023326

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

投稿者

pqr_mgh
5
1950

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中