[五分解説] 二年生に忘れられた夢 ー 三角函数の算法について

二年生に忘れられた夢
前提知識 : 三角函数の加法定理, 和積・積和の公式
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扇形式

お久し振りです. 今回の記事は, 三角函数の計算について, 私の考えるところを簡単に書くことに致します. とくに高校生の方に人気のある話題だと思います.

実数 (または複素数) の四つ組$(x,y,z,w)$の中で, 等式
$$\begin{array}{r}x+y=z+w\end{array}$$
をみたすものにたいし, 以下四種の三角比の式を考えます.
$$\begin{array}{rl}& \cos \left(x\right)\cos \left(y\right)-\cos \left(z\right)\cos \left(w\right),\\ & \\ & \cos \left(x\right)\sin \left(y\right)-\cos \left(z\right)\sin \left(w\right),\\ & \\ & \sin \left(x\right)\sin \left(y\right)-\sin \left(z\right)\sin \left(w\right),\\ & \\ & \cos \left(x\right)\cos \left(y\right)+\sin \left(z\right)\sin \left(w\right).\end{array}$$
これらをかりに扇せん形けい式と呼ぶことにすれば, つぎの定理が成立します.

ついでに, 扇形式から$\cos$や$\sin$を取りはずして
$$\begin{array}{r}xy-zw\end{array}$$
という多項式函数を考えてみますと, $x+y=z+w$ならば,
$$\begin{array}{r}(x+d)(y+d)-(z+d)(w+d)=xy-zw\end{array}$$
になりますから, 三角函数のものと同じ性質をもつことがわかります.
(なぜこれらの性質は共通しているのしょうか ? Euler の公式を知っている方は考察してみるといいでしょう. )
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具体例

扇形式の定理をつかって, 加法定理や積和・和積の公式を導出してみせたいと思います.
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加法定理

$\cos (x+y)$を計算するために, これを$\cos (x+y)\cos \left(0\right)+\sin (x+y)\sin \left(0\right)$のように見なします. すると扇形式の型になりますから, それぞれの引数より$y$を引いて,
$$\begin{array}{rl}& \cos (x+y)\\ =& \cos (x+y)\cos \left(0\right)+\sin (x+y)\sin \left(0\right)\\ =& \cos \left(x\right)\cos (-y)+\sin \left(x\right)\sin (-y)\\ =& \cos \left(x\right)\cos \left(y\right)-\sin \left(x\right)\sin \left(y\right)\end{array}$$
という結果になります. 次に$\sin (x+y)$を計算するために, これを$\sin (x+y)\cos \left(0\right)-\sin \left(0\right)\cos (x+y)$に換えれば,
$$\begin{array}{rl}& \sin (x+y)\\ =& \sin (x+y)\cos \left(0\right)-\sin \left(0\right)\cos (x+y)\\ =& \sin \left(x\right)\cos (-y)-\sin (-y)\cos \left(x\right)\\ =& \sin \left(x\right)\cos \left(y\right)+\sin \left(y\right)\cos \left(x\right).\end{array}$$
加法定理については以上です.
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三平方の定理の式

$\cos {\left(x\right)}^2+\sin {\left(x\right)}^2$も一種の扇形式として見ることができますので, 各成分から$x$を引くと,
$$\begin{array}{rl}& \cos {\left(x\right)}^2+\sin {\left(x\right)}^2\\ =& \cos {\left(0\right)}^2+\sin {\left(0\right)}^2\\ =& 1.\end{array}$$
これは三平方の定理の式と同じです.
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和積・積和の公式

すこし複雑になりますが, 和積の公式も確かめることができます.
$$\begin{array}{rl}& \cos \left(x\right)+\cos \left(y\right)\\ =& \cos \left(x\right)\cos \left(0\right)+\sin \left(x\right)\sin \left(0\right)\\ & +\sin \left(y\right)\sin \left(0\right)+\cos \left(y\right)\cos \left(0\right)\\ =& \cos (x-\frac{x+y}{2})\cos (-\frac{x+y}{2})+\sin (x-\frac{x+y}{2})\sin (-\frac{x+y}{2})\\ & +\sin (y-\frac{x+y}{2})\sin (-\frac{x+y}{2})+\cos (y-\frac{x+y}{2})\cos (-\frac{x+y}{2})\\ =& \cdots \\ =& 2\cos \left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right).\end{array}$$
また積和の公式についても,
$$\begin{array}{rl}& \cos \left(x\right)\cos \left(y\right)\\ =& \frac{1}{2}((\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)+\sin \left(x\right)\sin \left(y\right))+(\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)-\sin \left(x\right)\sin \left(y\right)))\\ =& \frac{1}{2}((\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)+\sin \left(x\right)\sin \left(y\right))+(\cos \left(x\right)\cos (-y)+\sin \left(x\right)\sin (-y)))\\ =& \frac{1}{2}((\cos (x-y)\cos \left(0\right)+\sin (x-y)\sin \left(0\right))+(\cos (x+y)\cos \left(0\right)+\sin (x+y)\sin \left(0\right)))\\ =& \frac{1}{2}(\cos (x+y)+\cos (x-y)).\end{array}$$
こんな具合に計算したらいかがでしょうか.
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今回は三角函数を主題に扇形式を解説したのでありますが, もともと私がこの定理に気が付いたのは, Lucas 数と Fibonacci 数の等式を研究していたときのことでありました. Fibonacci 数の恒等式につきましては, またの機会にブログ記事の種にしようと思います.

それでは, 長い解説にお付きあい頂きましてありがとうございました.
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