極限

こんにちは. 今日は次の問題を紹介します. 本で見かけたのですが, もっと簡単な方法があるだろううと思ったので.

ウォリス積分の漸化式を用いてはさみうちの原理を適用するのが模範解答のようです. ただ, 少しややこしいです.

スターリングの公式より
$\displaystyle{(与式)}$
$\displaystyle{=\lim_{n\to\infty}\frac{\Bigr\{\sqrt{2n\pi}(\frac{n}{e})^n\Bigl\}^22^{2n}}{\sqrt{4n\pi}(\frac{2n}{e})^{2n}\sqrt{n}}}$

$\displaystyle{=\lim_{n\to\infty}\frac{\pi n^{2n}e^{-2n}2^{2n}}{\sqrt{\pi}(2n)^{2n}e^{-2n}}}$

$\displaystyle{=\frac{\pi}{\sqrt{\pi}}}$

$\displaystyle{=\sqrt{\pi}}$

約分が気持ちいですね.

ここまでです. 読んでくれてありがとうございました.