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高校数学解説
文献あり

極限

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こんにちは. 今日は次の問題を紹介します. 本で見かけたのですが, もっと簡単な方法があるだろううと思ったので.

次の極限値を求めよ.
$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{(n!)^22^{2n}}{(2n)!\sqrt{n}}}$

ウォリス積分の漸化式を用いてはさみうちの原理を適用するのが模範解答のようです. ただ, 少しややこしいです.

スターリングの公式より
$\displaystyle{(与式)}$
$\displaystyle{=\lim_{n\to\infty}\frac{\Bigr\{\sqrt{2n\pi}(\frac{n}{e})^n\Bigl\}^22^{2n}}{\sqrt{4n\pi}(\frac{2n}{e})^{2n}\sqrt{n}}}$

$\displaystyle{=\lim_{n\to\infty}\frac{\pi n^{2n}e^{-2n}2^{2n}}{\sqrt{\pi}(2n)^{2n}e^{-2n}}}$

$\displaystyle{=\frac{\pi}{\sqrt{\pi}}}$

$\displaystyle{=\sqrt{\pi}}$

約分が気持ちいですね.

ここまでです. 読んでくれてありがとうございました.

というか補足

スターリングの公式とは
$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{n!e^n}{\sqrt{2n\pi}n^n}=1}$
$\displaystyle{\iff n!\sim\sqrt{2n\pi}\Bigr(\frac{n}{e}\Bigl)^n}$
という近似式のことです.

参考文献

[1]
中村力, 微分積分
投稿日:2023330

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投稿者

木立
木立
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