f(xy+f(x))=f(f(x)f(y))+x Brazil 2019
Let $\mathbb{R}_{>0}$ be the set of the positive real numbers. Find all functions $f:\mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}_{>0}$ such that$$f(xy+f(x))=f(f(x)f(y))+x$$for all positive real numbers $x$ and $y$.
出典は こちら .
解答
$f(x)=x$だけであることを示す.これが解なのは明らかなので他にないことを示す.与式を$P(x,y)$で表す.
$\textbf{Claim.}$ $f(x)\geqslant x.$
$f(x)< x$なる$x$が存在したとき,$P\left(x,\frac{x-f(x)}{x}\right)$より,$f(x)-x=f(something)>0$となり矛盾する.
$\textbf{Claim.}$ $x<1$のとき,$f(x)<1.$
$x<1$に対して,$P\left(x,y=\frac{f(x)}{1-x}\right)$を考える($xy+f(x)=y$に注意する):
$$f(y)=f(xy+f(x))=f(f(x)f(y))+x\geqslant f(x)f(y)+x.$$
これは,$f(x)<1$を意味している.
$\textbf{Claim.}$ $0$に収束し,$\displaystyle\lim_{i\to\infty}f(a_i)\to0$をみたす数列$\{a_i\}_{i\in \mathbb{Z}_{>0}}$が存在する.
$x<1$とする.$P\left(x,\frac{1-f(x)}{2x}\right)$より,
$$0< f\left(f\left(x \right)f\left(\frac{1-f(x )}{2x}\right)\right)=f\left(\frac{1+f(x )}{2}\right)-x<1-x.$$
よって,はさみうちの原理より,$\displaystyle\lim_{x\to1-0}f\left(f\left(x \right)f\left(\frac{1-f(x )}{2x}\right)\right)=0.$また,
$$0< f\left(\frac{1-f(x )}{2x}\right)\leqslant \frac{f\left(f\left(x \right)f\left(\frac{1-f(x )}{2x}\right)\right)}{f(x)}$$
より,$\displaystyle\lim_{x\to1-0}f(x)=1$に注意すると,$\displaystyle\lim_{x\to1-0}f\left(\frac{1-f(x )}{2x}\right)=0.$
同様に,$\displaystyle\lim_{x\to1-0}\frac{1-f(x )}{2x}=0.$
したがって,$a_i=\frac{1-f(1-\frac{1}{i+1})}{2(1-\frac{1}{i+1})}$などが条件をみたす.
$\textbf{Claim.}$ $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{f(x )}{x }=1$
$0$に収束し,$\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(a_i)=0$をみたすような数列$\{a_i\}_{i\in \mathbb{Z}_{>0}}$を一つ選ぶ.$P(x,a_i)$より,
$$f(xa_i+f(x))=f(f(x)f(a_i))+x\Longrightarrow xa_i-f(f(x)f(a_i))\leqslant x-f(x).$$
ここで,十分な大きな$i$をとることで$-1< xa_i-1< xa_i-f(f(x)f(a_i))$とすることができる.あとは,
$$1\leqslant \frac{f(x )}{x }<1+\frac{1}{x }$$
で$x\to\infty$とすればはさみうちの原理より,主張を得る.
$\textbf{Claim.}$ $f(x )=x.$
$$\frac{f(xy+f(x ))}{xy+f(x )}\cdot\left(y+\frac{f(x )}{x } \right)=\frac{f(f(x )f(y))}{f(x)f(y)}\cdot\frac{f(x )}{x }\cdot f(y)+1$$ここで,$x\to\infty$とすれば,$f(y)=y.$
コメント
たぶん,上手くやれば$\displaystyle\lim_{x\to+0}f(x)=0$が示せると思いますが,もっと弱いやつで十分だなと確認できたので,深掘りしませんでした.あとは,単純に極限の操作が自信がなかったので(証明はできたけど自信がまったくない)はさみうちの原理とか割と簡単なことだけしか使えませんでした.