【積分】2012年京都大学の問題を解いてみる

問題

積分せよ。

$$ \int_{1}^{ \sqrt{3} } \frac{1}{x^2} \log \sqrt{ 1 + x^2 } dx $$

解き方

logの変形

まず、$ \log \sqrt{ 1 + x^2 } $ を変形します。

$$ \log \sqrt{ 1 + x^2 } $$
$$ = \log (1 + x^2)^{\frac{1}{2}}$$
$$ = \frac{1}{2} \log (1 + x^2) $$

代入して、

$$ \frac{1}{2} \int_{1}^{ \sqrt{3} } \frac{1}{x^2} \log (1+x^2) dx $$

部分積分

$$ \frac{1}{2} \int_{1}^{ \sqrt{3} } \frac{1}{x^2} \log (1+x^2) dx $$

$$ = \frac{1}{2} \int_{1}^{ \sqrt{3} } (- \frac{1}{x} ){\prime} \log (1+x^2) dx $$

$$ = \frac{1}{2} \lbrace \lbrack - \frac{1}{x} \log (1+x^2) \rbrack \binom{\sqrt{3}}{1} + \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{x}・\frac{2x}{1+x^2} dx \rbrace $$

タンジェント置換

ここで、$ \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{x}・\frac{2x}{1+x^2} $ を $ I $と置く。

分母のxと分子の2xで約分して、

$$ I = \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{2}{1+x^2} dx $$

また、$ x = tanθ $ とすると、
$$ dx = \frac{1}{cos^2θ} dθ $$
xが$ 1 → \sqrt{3} $ の時、θは$ \frac{\pi}{4} → \frac{\pi}{3} $ となる。

従って、

$$ I = \int_{\frac{\pi}{4} }^{ \frac{\pi}{3} } \frac{2}{1+tan^2θ}・\frac{1}{cos^2θ} dθ $$

$$ = 2( \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} ) $$

$$ = \frac{\pi}{6} $$

Iを戻す

$ I $を戻して、最初の式は、

$$ = \frac{1}{2} \lbrace - \frac{1}{ \sqrt{3} } \log 4 + \log 2 + \frac{\pi}{6} \rbrace $$

$ \log 4 $ を $ 2 \log 2 $ にすると、

$$ = \frac{1}{2} \lbrace - \frac{2}{ \sqrt{3} } \log 2 + \log 2 + \frac{\pi}{6} \rbrace $$

$$ = \frac{\pi}{12} + \frac{1}{2} log 2 (1 - \frac{2}{\sqrt{3}}) $$

答え

$$ \frac{\pi}{12} + \frac{1}{2} log 2 (1 - \frac{2}{\sqrt{3}}) $$

そんなに難しい問題ではありませんね。
ただし解説を書いている私は何も理解できていません。