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【積分】2012年京都大学の問題を解いてみる

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問題

積分せよ。

131x2log1+x2dx

解き方

logの変形

まず、log1+x2 を変形します。

log1+x2
=log(1+x2)12
=12log(1+x2)

代入して、

12131x2log(1+x2)dx

部分積分

12131x2log(1+x2)dx

=1213(1x)log(1+x2)dx

=12{[1xlog(1+x2)](31)+131x2x1+x2dx}

タンジェント置換

ここで、131x2x1+x2Iと置く。

分母のxと分子の2xで約分して、

I=1321+x2dx

また、x=tanθ とすると、
dx=1cos2θdθ
xが13 の時、θはπ4π3 となる。

従って、

I=π4π321+tan2θ1cos2θdθ

=2(π3π4)

=π6

Iを戻す

Iを戻して、最初の式は、

=12{13log4+log2+π6}

log42log2 にすると、

=12{23log2+log2+π6}

=π12+12log2(123)

答え

π12+12log2(123)

そんなに難しい問題ではありませんね。
ただし解説を書いている私は何も理解できていません。

投稿日:202343
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