積分せよ。
∫131x2log1+x2dx
まず、log1+x2 を変形します。
log1+x2=log(1+x2)12=12log(1+x2)
代入して、
12∫131x2log(1+x2)dx
=12∫13(−1x)′log(1+x2)dx
・=12{[−1xlog(1+x2)](31)+∫131x・2x1+x2dx}
ここで、・∫131x・2x1+x2 を Iと置く。
分母のxと分子の2xで約分して、
I=∫1321+x2dx
また、x=tanθ とすると、dx=1cos2θdθxが1→3 の時、θはπ4→π3 となる。
従って、
・I=∫π4π321+tan2θ・1cos2θdθ
=2(π3−π4)
=π6
Iを戻して、最初の式は、
=12{−13log4+log2+π6}
log4 を 2log2 にすると、
=12{−23log2+log2+π6}
=π12+12log2(1−23)
π12+12log2(1−23)
そんなに難しい問題ではありませんね。ただし解説を書いている私は何も理解できていません。
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