【積分】2012年京都大学の問題を解いてみる

問題

積分せよ。

$${\int }_1^{\sqrt{3}}\frac{1}{x^2}\log \sqrt{1+x^2}dx$$

解き方

logの変形

まず、$\log \sqrt{1+x^2}$ を変形します。

$$\log \sqrt{1+x^2}$$
$$=\log {(1+x^2)}^{\frac{1}{2}}$$
$$=\frac{1}{2}\log (1+x^2)$$

代入して、

$$\frac{1}{2}{\int }_1^{\sqrt{3}}\frac{1}{x^2}\log (1+x^2)dx$$

部分積分

$$\frac{1}{2}{\int }_1^{\sqrt{3}}\frac{1}{x^2}\log (1+x^2)dx$$

$$=\frac{1}{2}{\int }_1^{\sqrt{3}}(-\frac{1}{x})\prime \log (1+x^2)dx$$

$$=\frac{1}{2}\{[-\frac{1}{x}\log (1+x^2)](\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{3}}{1})+{\int }_1^{\sqrt{3}}\frac{1}{x}・\frac{2x}{1+x^2}dx\}$$

タンジェント置換

ここで、${\int }_1^{\sqrt{3}}\frac{1}{x}・\frac{2x}{1+x^2}$ を $I$と置く。

分母のxと分子の2xで約分して、

$$I={\int }_1^{\sqrt{3}}\frac{2}{1+x^2}dx$$

また、$x=tan\theta$ とすると、
$$dx=\frac{1}{co{s}^2\theta }d\theta$$
xが$1\to \sqrt{3}$ の時、θは$\frac{\pi }{4}\to \frac{\pi }{3}$ となる。

従って、

$$I={\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\frac{2}{1+ta{n}^2\theta }・\frac{1}{co{s}^2\theta }d\theta$$

$$=2(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4})$$

$$=\frac{\pi }{6}$$

Iを戻す

$I$を戻して、最初の式は、

$$=\frac{1}{2}\{-\frac{1}{\sqrt{3}}\log 4+\log 2+\frac{\pi }{6}\}$$

$\log 4$ を $2\log 2$ にすると、

$$=\frac{1}{2}\{-\frac{2}{\sqrt{3}}\log 2+\log 2+\frac{\pi }{6}\}$$

$$=\frac{\pi }{12}+\frac{1}{2}log2(1-\frac{2}{\sqrt{3}})$$

答え

$$\frac{\pi }{12}+\frac{1}{2}log2(1-\frac{2}{\sqrt{3}})$$

そんなに難しい問題ではありませんね。
ただし解説を書いている私は何も理解できていません。