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JMO2014を楽観的に解く

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JMO(2014)

問題
2^a+3^b+1=6^cなる自然数の組を求めよ

不定方程式よく出ますよね。
そもそも不定方程式を解くってめっちゃ難しい...
未解決問題たくさんありますよね。長年未解決だったFermat予想だったりもありますから。

そんな感じで、不定方程式を見たら、まずは難しい!って思うのが
普通だと思います。しかし、そんなときにも、求めよって書いてあるんなら、求めれるだろうっていう楽観的な思考が役に立つ気がします。

さて、いくら楽観的思考とはいえ、もう少し具体的にどうすればいいのか?ってことを考えていきましょう。

例えば、この問題を見てmodいくつで考えようかと僕なんかは思うわけです。

そこで式を見るんですけど、2と3の冪がキーポイントだと思いました。

基本的には、法を上げると場合分けは増えますが、絞りやすくもなるわけです。
ということで、mod2なんかで削ろうとせずにもっと楽がしたい、楽がしたいと祈るような気持ちで式を見ると、
まず左辺の2^aは3以上で0になるから終わり、右辺は3^c2^cってことはc>=3で0になる。それだけじゃなく、
b=2のとき9≡1だから、これはbが上手く循環するぞ!と思えるわけです。
例えば、3 9 27..と続きますが、mod8だと
3→1→3という風に循環するというわけです。1になるっていうのはそれくらい強いのです!
そうなると、左辺は3or1にしかならないので、右辺の0に反してしまいます。というわけでc=1or2がすぐに決まるというわけです!

あとは絞っていくだけ終わるので省略します。

解答だったらいきなりmod8より~みたいなことが書いてあると思うのですが、こうした試行錯誤は大事だと思います。
mod2を試し、地獄を見るのもmod4を見て地獄を見るのも教訓になりまs。

ただ、今回はmod8だったら、残りは2^aを考えればよい

投稿日:202346

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Mo
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