ラマヌジャン：√1+2√1+3√1+4√...=3

ラマヌジャンが見つけた公式。
$$\begin{array}{r}\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{1+\cdots }}}}}}=3\end{array}$$
平方根の前の自然数が6になるところで打ち切って計算すると約2.87。つまり
$$\begin{array}{r}\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{1}}}}}}\fallingdotseq 2.87\end{array}$$

この公式を参考に見つけた公式。

$$\begin{array}{r}\sqrt{4+\sqrt{4+3\sqrt{4+5\sqrt{4+7\sqrt{4+9\sqrt{4+\cdots }}}}}}=3\end{array}$$

平方根の前の自然数が9になるところで打ち切って計算すると約2.94。つまり

$$\begin{array}{r}\sqrt{4+\sqrt{4+3\sqrt{4+5\sqrt{4+7\sqrt{4+9\sqrt{4}}}}}}\fallingdotseq 2.94\end{array}$$

上述の公式より少し早く収束することが確認できる。