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ラマヌジャン:√1+2√1+3√1+4√...=3

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$$\newcommand{BEQ}[0]{\begin{eqnarray}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{ceil}[1]{\left\lceil#1\right\rceil} \newcommand{Df}[2]{\frac{\varDelta}{\varDelta #2} #1} \newcommand{Dfn}[3]{\frac{\varDelta^{#3}}{\varDelta #2^{#3}} #1} \newcommand{div}[0]{\mathrm{div}} \newcommand{division}[0]{÷} \newcommand{EEQ}[0]{\end{eqnarray}} \newcommand{floor}[1]{ \left\lfloor#1\right\rfloor} \newcommand{FT}[1]{ \mathcal{F}\left[#1\right]} \newcommand{grad}[0]{\mathrm{grad}\ } \newcommand{hgf}[5]{{}_{#1}F_{#2}\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{#3}{#4}\,;\,#5\right)} \newcommand{IFT}[1]{ \mathcal{F^{-1}}\left[#1\right]} \newcommand{ILT}[1]{\mathcal{L^{-1}}\left[#1\right]} \newcommand{Iz}[0]{\int_z^{\infty} } \newcommand{IZT}[1]{\mathcal{Z^{-1}}\left[#1\right]} \newcommand{LT}[1]{\mathcal{L}\left[#1\right]} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{rot}[0]{\mathrm{rot}\ } \newcommand{SI}[1]{\sum_{#1=1}^{\infty}} \newcommand{Sm}[2]{\sum #1 \varDelta #2 } \newcommand{SmLm}[4]{\sum_{#1}^{#2} #3 \varDelta #4} \newcommand{SO}[1]{\sum_{#1 = 0}^{\infty}} \newcommand{Up}[2]{#1^{\overline{#2}}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{ZT}[1]{\mathcal{Z}\left[#1\right]} $$

ラマヌジャンが見つけた公式。
$$ \BEQ \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6 \sqrt{1+\cdots}}}}}}=3 \EEQ $$
平方根の前の自然数が6になるところで打ち切って計算すると約2.87。つまり
$$ \BEQ \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6 \sqrt{1}}}}}}≒2.87 \EEQ $$

この公式を参考に見つけた公式。

$$ \BEQ \sqrt{4+\sqrt{4+3\sqrt{4+5\sqrt{4+7\sqrt{4+9 \sqrt{4+\cdots}}}}}}=3 \EEQ $$

平方根の前の自然数が9になるところで打ち切って計算すると約2.94。つまり

$$ \BEQ \sqrt{4+\sqrt{4+3\sqrt{4+5\sqrt{4+7\sqrt{4+9 \sqrt{4}}}}}}≒2.94 \EEQ $$

上述の公式より少し早く収束することが確認できる。

投稿日:202348

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zeta
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