$$\newcommand{BEQ}[0]{\begin{eqnarray}}
\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}}
\newcommand{ceil}[1]{\left\lceil#1\right\rceil}
\newcommand{Df}[2]{\frac{\varDelta}{\varDelta #2} #1}
\newcommand{Dfn}[3]{\frac{\varDelta^{#3}}{\varDelta #2^{#3}} #1}
\newcommand{div}[0]{\mathrm{div}}
\newcommand{division}[0]{÷}
\newcommand{EEQ}[0]{\end{eqnarray}}
\newcommand{floor}[1]{ \left\lfloor#1\right\rfloor}
\newcommand{FT}[1]{ \mathcal{F}\left[#1\right]}
\newcommand{grad}[0]{\mathrm{grad}\ }
\newcommand{hgf}[5]{{}_{#1}F_{#2}\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{#3}{#4}\,;\,#5\right)}
\newcommand{IFT}[1]{ \mathcal{F^{-1}}\left[#1\right]}
\newcommand{ILT}[1]{\mathcal{L^{-1}}\left[#1\right]}
\newcommand{Iz}[0]{\int_z^{\infty} }
\newcommand{IZT}[1]{\mathcal{Z^{-1}}\left[#1\right]}
\newcommand{LT}[1]{\mathcal{L}\left[#1\right]}
\newcommand{N}[0]{\mathbb{N}}
\newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}}
\newcommand{R}[0]{\mathbb{R}}
\newcommand{rot}[0]{\mathrm{rot}\ }
\newcommand{SI}[1]{\sum_{#1=1}^{\infty}}
\newcommand{Sm}[2]{\sum #1 \varDelta #2 }
\newcommand{SmLm}[4]{\sum_{#1}^{#2} #3 \varDelta #4}
\newcommand{SO}[1]{\sum_{#1 = 0}^{\infty}}
\newcommand{Up}[2]{#1^{\overline{#2}}}
\newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}}
\newcommand{ZT}[1]{\mathcal{Z}\left[#1\right]}
$$
ラマヌジャンが見つけた公式。
$$
\BEQ
\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6 \sqrt{1+\cdots}}}}}}=3
\EEQ
$$
平方根の前の自然数が6になるところで打ち切って計算すると約2.87。つまり
$$
\BEQ
\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6 \sqrt{1}}}}}}≒2.87
\EEQ
$$
この公式を参考に見つけた公式。
$$
\BEQ
\sqrt{4+\sqrt{4+3\sqrt{4+5\sqrt{4+7\sqrt{4+9 \sqrt{4+\cdots}}}}}}=3
\EEQ
$$
平方根の前の自然数が9になるところで打ち切って計算すると約2.94。つまり
$$
\BEQ
\sqrt{4+\sqrt{4+3\sqrt{4+5\sqrt{4+7\sqrt{4+9 \sqrt{4}}}}}}≒2.94
\EEQ
$$
上述の公式より少し早く収束することが確認できる。