8.94^18を常用対数表なしで近似する

できる気がしたので、常用対数表禁止縛りで解きます。

問題

方針

$ 8.94 $は$ 9 $に近いので、二項定理が使えそうです。二項定理は数Ⅱの範囲なので、文系でもサポートされています。対数表なんて知りません。

解答

\begin{equation*} 8.94 = 9 - 0.06 = 9 \left( 1 - \frac{1}{150} \right) \end{equation*}

である。まず、

\begin{equation*} \left( 1 - \frac{1}{150} \right)^{18} \end{equation*}

について考える。そこで、$ 0 \leq k \leq 18$をみたす整数$ k $に対し、

\begin{equation*} a_k = {}_{18}\mathrm{C}_{k} \left( -\frac{1}{150} \right)^{k} \end{equation*}

と定義すると、

\begin{equation*} \left( 1 - \frac{1}{150} \right)^{18} = \sum_{k=0}^{18} a_k \end{equation*}

である。$ 1 \leq k \leq 17 $のとき、

\begin{align*} & {}_{18}\mathrm{C}_{k+1} \\ =& \frac{18 \cdot 17 \cdots (18-k+1) \cdot (18-k)}{1 \cdot 2 \cdots k \cdot (k+1)} \\ =& {}_{18}\mathrm{C}_{k} \cdot \frac{18-k}{k+1} \\ \leq& {}_{18}\mathrm{C}_{k} \cdot \frac{18-1}{1+1} \\ =& {}_{18}\mathrm{C}_{k} \cdot \frac{17}{2} \end{align*}

であるから、$ 1 \leq k \leq 17 $のとき

\begin{align*} & |a_{k+1}| \\ =& \left|\frac{1}{150} \cdot \frac{{}_{18}\mathrm{C}_{k+1}}{{}_{18}\mathrm{C}_{k}} \cdot a_k \right| \\ \leq& \left|\frac{1}{150} \cdot \frac{17}{2} \cdot a_k \right| \\ \leq& \left|\frac{1}{17} \cdot a_k \right| \\ =& \frac{1}{17} \left|\cdot a_k \right| \\ \end{align*}

である。

\begin{equation*} a_0 = 1, a_1 = -\frac{18}{150}, a_2 = \frac{153}{22500} \end{equation*}

であるから、

\begin{align*} & |a_3 + a_4 + \cdots + a_{18}| \\ \leq& |a_3| + |a_4| + \cdots |a_{18}| \\ \leq& \left(\frac{1}{17} + \cdots + \frac{1}{{17}^{16}}\right) |a_2| \\ \leq& \left(\frac{1}{17} + \cdots + \frac{1}{{17}^{15}} + \cdots \right) |a_2|\hspace{5mm}(無限和)\\ =& \frac{1}{16} |a_2| \end{align*}

なので

\begin{align*} a_0 &= + 1 \\ a_1 &= - 0.12 \\ a_2 &= + 0.0068 \\ \frac{1}{16} |a_2| &\leq \hspace{4mm} 0.0005 \end{align*}

より、

\begin{equation*} 0.8863 \leq \left( 1 + \frac{1}{150} \right)^{18} \leq 0.8873 \end{equation*}

がわかる。

次に$ 9^{18} $を近似する。

\begin{equation*} 9^6 = 3^{12} = 531441 \end{equation*}

であるので、$ {531441}^3 $を近似する。

\begin{equation*} {53}^2 = 2809, {53}^3 = 148877 \end{equation*}

また

\begin{align*} & (530+2)^3 \\ =& 148877000 + 280900 \cdot 3 \cdot 2 + 530 \cdot 3 \cdot 4 + 8 \\ <& 148877000 + 2809000 + 10000 \\ <& 148877000 + 3000000 \\ <& 152000000 \\ \end{align*}

であるから、

\begin{align*} & {8.94}^{18} \\ =& 9^{18} \cdot \left( 1 - \frac{1}{150} \right)^{18} \\ >& (1.48 \cdot {10}^{17}) \cdot 0.886 \\ >& 1.3 \cdot {10}^{17} \end{align*}

および

\begin{align*} & {8.94}^{18} \\ =& 9^{18} \cdot \left( 1 - \frac{1}{150} \right)^{18} \\ <& (1.52 \cdot {10}^{17}) \cdot 0.888 \\ <& 1.53 \cdot {10}^{17} \cdot \frac{8}{9} \\ =& 1.36 \cdot 10^{17} \end{align*}

なので、

$ {8.94}^{18} $は$ 18 $桁で、その最高位からの2桁の数は$ 12 $である。

講評

\begin{equation*} 3^{12} = 531441 \fallingdotseq 524288 = 2^{19} \end{equation*}