8.94^18を常用対数表なしで近似する

近似,常用対数表禁止縛り

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できる気がしたので、常用対数表禁止縛りで解きます。

問題

2019年京大文系[1]問2

${8.94}^{18}$ の整数分は何桁か。また最高位からの2桁の数字を求めよ。例えば， $12345.6789$ の最高位からの2桁は $12$ を指す。

方針

$8.94$ は $9$ に近いので、二項定理が使えそうです。二項定理は数Ⅱの範囲なので、文系でもサポートされています。対数表なんて知りません。

解答

$8.94 = 9 - 0.06 = 9 (1 - \frac{1}{150})$

である。まず、

${(1 - \frac{1}{150})}^{18}$

について考える。そこで、 $0 \leq k \leq 18$ をみたす整数 $k$ に対し、

$a_{k} =_{18} C_{k} {(- \frac{1}{150})}^{k}$

と定義すると、

${(1 - \frac{1}{150})}^{18} = \sum_{k = 0}^{18} a_{k}$

である。 $1 \leq k \leq 17$ のとき、

$\begin{aligned} _{18} C_{k + 1} \\ = & \frac{18 \cdot 17 \dots (18 - k + 1) \cdot (18 - k)}{1 \cdot 2 \dots k \cdot (k + 1)} \\ = & _{18} C_{k} \cdot \frac{18 - k}{k + 1} \\ \leq & _{18} C_{k} \cdot \frac{18 - 1}{1 + 1} \\ = & _{18} C_{k} \cdot \frac{17}{2} \end{aligned}$

であるから、 $1 \leq k \leq 17$ のとき

$\begin{aligned} | a_{k + 1} | \\ = & | \frac{1}{150} \cdot \frac{_{18} C_{k + 1}}{_{18} C_{k}} \cdot a_{k} | \\ \leq & | \frac{1}{150} \cdot \frac{17}{2} \cdot a_{k} | \\ \leq & | \frac{1}{17} \cdot a_{k} | \\ = & \frac{1}{17} | \cdot a_{k} | \end{aligned}$

である。

$a_{0} = 1, a_{1} = - \frac{18}{150}, a_{2} = \frac{153}{22500}$

であるから、

$\begin{aligned} | a_{3} + a_{4} + \dots + a_{18} | \\ \leq & | a_{3} | + | a_{4} | + \dots | a_{18} | \\ \leq & (\frac{1}{17} + \dots + \frac{1}{17^{16}}) | a_{2} | \\ \leq & (\frac{1}{17} + \dots + \frac{1}{17^{15}} + \dots) | a_{2} | (無限和) \\ = & \frac{1}{16} | a_{2} | \end{aligned}$

なので

$\begin{aligned} a_{0} & = + 1 \\ a_{1} & = - 0.12 \\ a_{2} & = + 0.0068 \\ \frac{1}{16} | a_{2} | & \leq 0.0005 \end{aligned}$

より、

$0.8863 \leq {(1 + \frac{1}{150})}^{18} \leq 0.8873$

がわかる。

次に $9^{18}$ を近似する。

$9^{6} = 3^{12} = 531441$

であるので、 $531441^{3}$ を近似する。

$53^{2} = 2809, 53^{3} = 148877$

また

$\begin{aligned} (530 + 2)^{3} \\ = & 148877000 + 280900 \cdot 3 \cdot 2 + 530 \cdot 3 \cdot 4 + 8 \\ < & 148877000 + 2809000 + 10000 \\ < & 148877000 + 3000000 \\ < & 152000000 \end{aligned}$

であるから、

$\begin{aligned} {8.94}^{18} \\ = & 9^{18} \cdot {(1 - \frac{1}{150})}^{18} \\ > & (1.48 \cdot 10^{17}) \cdot 0.886 \\ > & 1.3 \cdot 10^{17} \end{aligned}$

および

$\begin{aligned} {8.94}^{18} \\ = & 9^{18} \cdot {(1 - \frac{1}{150})}^{18} \\ < & (1.52 \cdot 10^{17}) \cdot 0.888 \\ < & 1.53 \cdot 10^{17} \cdot \frac{8}{9} \\ = & 1.36 \cdot 10^{17} \end{aligned}$