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高校数学解説

(nCr(2n,n)/2²ⁿ)³ を含む級数

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級数さいこおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおお😭
定理

\begin{array}{r} π \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n}})}^{3} \prod_{n \leq k} \frac{1}{1 - \frac{a^{2}}{(2 k + 1)^{2}}} = \frac{π}{\cos \frac{π a}{2}} \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n}})}^{3} \prod_{k = 0}^{n - 1} (1 - \frac{a^{2}}{(2 k + 1)^{2}}) = 4 \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n}})}^{2} \frac{4 n + 1}{(4 n + 1)^{2} - a^{2}} = \frac{Γ (\frac{1 - a}{4}) Γ (\frac{1 + a}{4})}{Γ (\frac{3 - a}{4}) Γ (\frac{3 + a}{4})} \end{array}

証明

先ず，次の等式が成り立つ．

\begin{array}{r} \int_{0}^{\infty} \frac{\cosh a x}{\cosh^{2 n + 1} x} d x = \frac{π}{2} \frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n}} \prod_{n \leq k} \frac{1}{1 - \frac{a^{2}}{(2 k + 1)^{2}}} \end{array}

これにより

\begin{aligned} \frac{π^{2}}{4} \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n}})}^{3} \prod_{n \leq k} \frac{1}{1 - \frac{a^{2}}{(2 k + 1)^{2}}} \\ = & \int_{0}^{\infty} \frac{\cosh a x}{\cosh x} \frac{π}{2} \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n}})}^{2} \frac{1}{\cosh^{2 n} x} d x \\ = & \int_{0}^{\infty} \frac{\cosh a x}{\cosh x} K (\frac{1}{\cosh x}) d x \\ = & \int_{0}^{\infty} \frac{\cosh a x}{\cosh x} (1 + e^{- 2 x}) K (e^{- 2 x}) d x \\ = & \int_{0}^{1} (t^{- a} + t^{a}) K (t^{2}) d t \\ = & \frac{π}{2} \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n}})}^{2} \int_{0}^{1} (t^{- a} + t^{a}) t^{4 n} d t \\ = & π \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n}})}^{2} \frac{4 n + 1}{(4 n + 1)^{2} - a^{2}} \\ = & \frac{π}{4} \frac{Γ (\frac{1 - a}{4}) Γ (\frac{1 + a}{4})}{Γ (\frac{3 - a}{4}) Γ (\frac{3 + a}{4})} \end{aligned}

定理

\begin{array}{r} \sum_{0 \leq n \leq m} {(\frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n}})}^{3} \frac{2^{2 m}}{(2 m + 1)^{2} (\binom{2 m}{m})} \prod_{k = n}^{m} \frac{1}{1 - \frac{a^{2}}{(2 k + 1)^{2}}} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n}})}^{2} \frac{2}{(4 n + 1)^{2} - a^{2}} \end{array}

証明

次の等式が成り立つ．

\begin{array}{r} \int_{0}^{\infty} \frac{\sinh a x}{\cosh^{2 n + 1} x} d x = a \frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n}} \sum_{n \leq m} \frac{2^{2 m}}{(2 m + 1)^{2} (\binom{2 m}{m})} \prod_{k = n}^{m} \frac{1}{1 - \frac{a^{2}}{(2 k + 1)^{2}}} \end{array}

ので，同様に

\begin{aligned} \frac{π a}{2} \sum_{0 \leq n \leq m} {(\frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n}})}^{3} \frac{2^{2 m}}{(2 m + 1)^{2} (\binom{2 m}{m})} \prod_{k = n}^{m} \frac{1}{1 - \frac{a^{2}}{(2 k + 1)^{2}}} \\ = & \dots \\ = & \int_{0}^{1} (t^{- a} - t^{a}) K (t^{2}) d t \\ = & π a \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n}})}^{2} \frac{1}{(4 n + 1)^{2} - a^{2}} \end{aligned}

投稿日：2023年4月9日

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