8

(nCr(2n,n)/2²ⁿ)³ を含む級数

209
1
$$\newcommand{BA}[0]{\begin{align*}} \newcommand{BE}[0]{\begin{equation}} \newcommand{bl}[0]{\boldsymbol} \newcommand{D}[0]{\displaystyle} \newcommand{EA}[0]{\end{align*}} \newcommand{EE}[0]{\end{equation}} \newcommand{h}[0]{\boldsymbol{h}} \newcommand{k}[0]{\boldsymbol{k}} \newcommand{L}[0]{\left} \newcommand{l}[0]{\boldsymbol{l}} \newcommand{m}[0]{\boldsymbol{m}} \newcommand{n}[0]{\boldsymbol{n}} \newcommand{R}[0]{\right} \newcommand{vep}[0]{\varepsilon} $$
級数さいこおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおおお😭

定理
$\BA\D\\ \pi\sum_{n=0}^\infty \L(\frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}}\R)^3\prod_{n\le k}\frac{1}{1-\frac{a^2}{(2k+1)^2}} =\frac{\pi}{\cos\frac{\pi a}{2}}\sum_{n=0}^\infty \L(\frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}}\R)^3\prod_{k=0}^{n-1}\L(1-\frac{a^2}{(2k+1)^2}\R) =4\sum_{n=0}^\infty \L(\frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}}\R)^2\frac{4n+1}{(4n+1)^2-a^2} =\frac{\Gamma(\frac{1-a}{4})\Gamma(\frac{1+a}{4})}{\Gamma(\frac{3-a}{4})\Gamma(\frac{3+a}{4})}\\\ \EA$
証明

先ず,次の等式が成り立つ.

$\BA\D\\ \int_0^\infty \frac{\cosh ax}{\cosh^{2n+1}x}\,dx=\frac{\pi}{2}\frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}}\prod_{n\le k}\frac{1}{1-\frac{a^2}{(2k+1)^2}} \EA$

これにより

$\BA\D\\ &\frac{\pi^2}{4}\sum_{n=0}^\infty \L(\frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}}\R)^3\prod_{n\le k}\frac{1}{1-\frac{a^2}{(2k+1)^2}}\\ =&\int_0^\infty \frac{\cosh ax}{\cosh x}\,\frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^\infty \L(\frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}}\R)^2\frac{1}{\cosh^{2n}x}\,dx\\ =&\int_0^\infty \frac{\cosh ax}{\cosh x}K\L(\frac{1}{\cosh x}\R)\,dx\\ =&\int_0^\infty \frac{\cosh ax}{\cosh x}(1+e^{-2x})K(e^{-2x})\,dx\\ =&\int_0^1 (t^{-a}+t^a)K(t^2)\,dt\\ =&\frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^\infty \L(\frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}}\R)^2\int_0^1 (t^{-a}+t^a)\,t^{4n}\,dt\\ =&\pi\sum_{n=0}^\infty \L(\frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}}\R)^2\frac{4n+1}{(4n+1)^2-a^2}\\ =&\frac{\pi}{4}\frac{\Gamma(\frac{1-a}{4})\Gamma(\frac{1+a}{4})}{\Gamma(\frac{3-a}{4})\Gamma(\frac{3+a}{4})} \EA$

定理
$\BA\D \sum_{0\le n\le m}\L(\frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}}\R)^3\frac{2^{2m}}{(2m+1)^2\binom{2m}{m}}\prod_{k=n}^m \frac{1}{1-\frac{a^2}{(2k+1)^2}} =\sum_{n=0}^\infty \L(\frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}}\R)^2\frac{2}{(4n+1)^2-a^2}\\\ \EA$
証明

次の等式が成り立つ.

$\BA\D\\ \int_0^\infty \frac{\sinh ax}{\cosh^{2n+1}x}\,dx=a\frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}}\sum_{n\le m}\frac{2^{2m}}{(2m+1)^2\binom{2m}{m}}\prod_{k=n}^m \frac{1}{1-\frac{a^2}{(2k+1)^2}} \EA$

ので,同様に

$\BA\D\\ &\frac{\pi a}{2}\sum_{0\le n\le m}\L(\frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}}\R)^3\frac{2^{2m}}{(2m+1)^2\binom{2m}{m}}\prod_{k=n}^m \frac{1}{1-\frac{a^2}{(2k+1)^2}}\\ =&\cdots\\ =&\int_0^1 (t^{-a}-t^a)K(t^2)\,dt\\ =&\pi a\sum_{n=0}^\infty \L(\frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}}\R)^2\frac{1}{(4n+1)^2-a^2} \EA$
投稿日:202349

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