反転を用いた東大入試の解法

1015

反転について

反転

中心 $O$ ,半径 $r$ の円がある．このとき，円 $O$ による反転を以下のように定義する．

点 $P$ の行き先は，半直線 $O P$ の上で $O P \cdot O P^{'} = r^{2}$ を満たす点 $P^{'}$ ．

高校数学の美しい物語
　無限遠点は原点にうつるものとします．反転には以下のような性質があります．

反転によって，

$1$ ：原点を通る直線は原点を通る直線にうつる

$2$ ：原点を通らない直線は原点を通る円にうつる

$3$ ：原点を通る円は原点を通らない直線にうつる

$4$ ：原点を通らない円は原点を通らない円にうつる

複素数平面上の反転

　今回は単位円での反転のみを考えるので， $r = 1$ とします．

複素数平面上の反転

複素数平面における反転は以下のように表される．
$f : C \to C$
$\begin{array}{r} f (z) = \frac{1}{\bar{z}} \end{array}$

$z$ の行き先を $ω$ とする．このとき，
$\begin{array}{r} (1) & | z | \cdot | ω | = 1 \end{array}$
また， $ω$ は半直線 $O Z$ 上の点であることから，正の実数 $t$ を用いて $ω = t z$ と表される． $(1)$ より， $| ω | = \frac{1}{| z |}$ を得る．よって，
$\begin{aligned} | ω | & = t | z | \\ = \frac{1}{| z |} \\ ∴ t & = \frac{1}{| z |^{2}} \end{aligned}$
よって， $ω = \frac{1}{\bar{z}}$ となる．つまり，
$\begin{array}{r} f (z) = \frac{1}{\bar{z}} \end{array}$

問題

2017

東京大学

複素数平面上の原点以外の点 $z$ に対して $ω = \frac{1}{z}$ とする．
$(1)$ 　 $α$ を $0$ でない複素数とし， $α$ と原点 $O$ を結ぶ線分の垂直二等分線を $L$ とする．点 $z$ が $L$ 上を動くとき， $ω$ の軌跡は円から一点を除いたものになる．この円の中心と半径を求めよ．
$(2)$ 　 $1$ の $3$ 乗根のうち，虚部が正であるものを $β$ とする．点 $β$ と点 $β^{2}$ を結ぶ線分上を $z$ が動くときの点 $ω$ の軌跡を求め，複素数平面上に図示せよ．

解法

　今回，反転させた後で工夫が必要です． $ω = \frac{1}{z}$ なので，単位円で反転させて得た図形を実軸で折り返すと良いです．
　 $(1)$ からやりましょう．線分と垂直二等分線の交点は $\frac{α}{2}$ です．また， $L$ を反転させると，原点を通る円になります． $\frac{α}{2}$ を反転させた点と原点を結んだ線分は， $L$ を反転させてできる円の直径となります．これは簡単に証明できるので是非挑戦してみてください．
　点 $\frac{α}{2}$ の行き先は，点 $\frac{2}{\bar{α}}$ です．この点と原点を結ぶ線分が直径となるので，反転して得た円の半径は $\frac{1}{| α |}$ ，中心は $\frac{1}{\bar{α}}$ です．
　直線 $L$ を反転させると，以下の図で緑色の円になります．
反転❶
　後は実軸で折り返せば終わりです． $(1)$ 答は半径 $\frac{1}{| α |}$ ，中心 $\frac{1}{α}$ の円です．
　 $(2)$ の問題です．明らかに $β = e^{\frac{π i}{3}}$ ですね． $β$ と $β^{2}$ は共役の関係にあるので，線分は虚軸に平行です．一回反転してみると以下の図のようになります．