反転を用いた東大入試の解法
反転について
中心$O$,半径$r$の円がある．このとき，円$O$による反転を以下のように定義する．
- 点$P$の行き先は，半直線$OP$の上で$OP\cdot OP'=r^2$を満たす点$P'$．
高校数学の美しい物語
無限遠点は原点にうつるものとします．反転には以下のような性質があります．
反転によって，
$1$：原点を通る直線は原点を通る直線にうつる
$2$：原点を通らない直線は原点を通る円にうつる
$3$：原点を通る円は原点を通らない直線にうつる
$4$：原点を通らない円は原点を通らない円にうつる
複素数平面上の反転
今回は単位円での反転のみを考えるので，$r=1$とします．
複素数平面における反転は以下のように表される．
$f:\mathbb C \to \mathbb C$
\begin{align*}
f(z)=\dfrac{1}{\bar z}
\end{align*}
$z$の行き先を$\omega$とする．このとき，
\begin{align*}
|z|\cdot|\omega|=1\tag{1}
\end{align*}
また，$\omega$は半直線$OZ$上の点であることから，正の実数$t$を用いて$\omega=tz$と表される．$(1)$より，$|\omega| = \dfrac{1}{|z|}$を得る．よって，
\begin{align*}
|\omega|&=t|z|\\
&=\dfrac{1}{|z|}\\
\therefore t&=\dfrac{1}{|z|^2}
\end{align*}
よって，$\omega=\dfrac{1}{\bar z}$となる．つまり，
\begin{align*}
f(z)=\dfrac{1}{\bar z}
\end{align*}
問題
複素数平面上の原点以外の点$z$に対して$\omega=\dfrac{1}{z}$とする．
$(1)$ $\alpha$を$0$でない複素数とし，$\alpha$と原点$O$を結ぶ線分の垂直二等分線を$L$とする．点$z$が$L$上を動くとき，$\omega$の軌跡は円から一点を除いたものになる．この円の中心と半径を求めよ．
$(2)$ $1$の$3$乗根のうち，虚部が正であるものを$\beta$とする．点$\beta$と点$\beta^2$を結ぶ線分上を$z$が動くときの点$\omega$の軌跡を求め，複素数平面上に図示せよ．
解法
今回，反転させた後で工夫が必要です．$\omega=\dfrac{1}{z}$なので，単位円で反転させて得た図形を実軸で折り返すと良いです．
$(1)$からやりましょう．線分と垂直二等分線の交点は$\dfrac{\alpha}{2}$です．また，$L$を反転させると，原点を通る円になります．$\dfrac{\alpha}{2}$を反転させた点と原点を結んだ線分は，$L$を反転させてできる円の直径となります．これは簡単に証明できるので是非挑戦してみてください．
点$\dfrac{\alpha}{2}$の行き先は，点$\dfrac{2}{\bar\alpha}$です．この点と原点を結ぶ線分が直径となるので，反転して得た円の半径は$\dfrac{1}{|\alpha|}$，中心は$\dfrac{1}{\bar\alpha}$です．
直線$L$を反転させると，以下の図で緑色の円になります．
反転❶
後は実軸で折り返せば終わりです．$(1)$答は半径$\dfrac{1}{|\alpha|}$，中心$\dfrac{1}{\alpha}$の円です．
$(2)$の問題です．明らかに$ \beta=e^{\frac{\pi i}{3}}$ですね．$\beta$と$\beta^2$は共役の関係にあるので，線分は虚軸に平行です．一回反転してみると以下の図のようになります．
反転❷
明らかに実軸対称ですから，これが答えとなります．