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現代数学解説
文献あり

結合幾何学の紹介

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結合幾何学とは

点と直線とこれらの接続の仕方をまとめた結合構造と呼ばれる構造を用いて行う幾何のことを結合幾何と呼び、その結合幾何について考える分野を結合幾何学と呼ぶ。
接続の仕方しか考慮しなくてよいので、結合幾何はいろいろな分野で利用されている。幾何学のほかに、例えば組合せ論や論理学などにも応用されてる。
結合構造について、詳しくはMathlogの記事 結合構造基礎の基礎 を参照してほしい。

定義

結合幾何(接続幾何)

結合構造(P, L, I)が次を満たすときに結合幾何と呼ぶ。

  • |P|2
  • 任意の異なる点P, Qに対して、Pl, Qlを満たす直線lLが唯一つ存在する。
  • lLに対して、直線l上の点の集合ΓP(l)|ΓP(l)|2を満たす。
  • lLに対して、Plとなる点PPが存在する。
共線的

点の集合PPに対して、Plとなる直線lLが存在するとき、Pを共線的と呼ぶ。

平行

直線l,mの共通が存在しない、つまり|ΓP(l)ΓP(m)|=0のとき、lmは平行であるという。また、lmは平行であるときlmと書く。

直線の交点

直線l,mの共通が一点しかない、つまり|ΓP(l)ΓP(m)|=1のときにその点をlmの交点と呼ぶ。また、交点がAのときlmは交点Aで交わるという。

略記

異なる点A, BPを通る直線をABと書く。
結合幾何の定義よりABが表す直線は一意に決まる。

具体例

ここでいくつか具体例を見ていく。

ユークリッド平面 R2

P=R2, L=a,bR{(x, y)|y=ax+b}aR{(x, y)|x=a}, I=P×Lとする。
このとき結合構造R2=(P, L, I)は結合幾何になる。この結合幾何をユークリッド平面と呼ぶ。

位数3の有限アフィン平面 A3

P={A, B, C, D, E, F, G, H, I}, L={{A, B, C}, {D, E, F}, {G, H, I}, {A, D, G}, {B, E, H}, {C, F, I}, {A, F, H}, {B, D, I}, {C, E, G}, {A, E, I}, {B, F, G}, {C, D, H}}, I=P×Lとする。
このとき結合構造A3=(P, L, I)は結合幾何になる。この結合幾何を位数3の有限アフィン平面と呼ぶ。

9点と12直線を持つ位数3の有限アフィン平面の図。同じ色の「直線」は「平行」の関係にある 9点と12直線を持つ位数3の有限アフィン平面の図。同じ色の「直線」は「平行」の関係にある Wikipediaの有限幾何学>有限平面>有限アフィン平面 参照

位数2の有限射影平面 P2

P={A, B, C, D, E, F, G}, L={{A, B, E}, {E, F, G}, {A, C, G}, {B, C, F}, {A, D, F}, {B, D, G}, {C, D, E}}, I=P×Lとする。
このとき結合構造P2=(P, L, I)は結合幾何になる。この結合幾何を位数2の有限射影平面と呼ぶ。また、この位数2の有限射影平面はファノ平面(Fano plane)としてよく知られている。

7点と7直線を持つファノ平面の図 7点と7直線を持つファノ平面の図 Wikipediaの有限幾何学>有限平面>有限射影平面 参照

2-(v, k, 1)デザイン

v, kvk0を満たす整数とする。
PLを次の条件を満たすように作る。

  • |P|=v
  • 任意のlLに対し、|ΓP(l)|=k
  • 任意の異なるA, BPに対し、ABを共に通る直線lLが唯一つ存在する。

このとき、(P, L, P×L)は結合幾何となる。この結合幾何を2-(v, k, 1)デザインと呼ぶ。
実は、2-(n2, n, 1)デザインは位数nのアフィン平面となり、2-(n2+n+1, n+1, 1)デザインは位数nの射影平面になるが、ここでは詳しく説明しない。
(詳しくは Wikipediaのブロックデザイン 参照)

練習問題

相異なる点A, B, Cにおいて次は同値。

  1. Cは直線AB上にない
  2. Aは直線BC上にない
  3. Bは直線AC上にない
  4. 3点A, B, Cを同時に通る直線は存在しない(A, B, Cは共線的ではない)

1=>2=>3=>1を示すことができれば4と1が同値であることがすぐわかる。

まず1=>2を示す。
もしABCだとすると、三点A, B, Cは共線的である。つまり、CABなので1より矛盾。よって1=>2が成り立つ。
2=>3, 3=>1も同様に示すことができる。

任意の点に対してその点で交わる直線が少なくとも2本存在する。

任意の点をPPとする。
|P|2よりPと異なる点を取ることができるので、その点を取りQとする。さらに任意の直線に対して直線上にない点が取れるのでPQ上にない点をRとする。
いま、PQ=PRとするとRPQであるが、Rの取り方からRPQなので矛盾する。よってPQPRとなり、点Pを通る直線が2本取れた。

任意の点に対してその点を通らない直線が存在する。

任意の点をPPとする。
|P|2よりPと異なる点を取ることができるので、その点を取りQとする。さらに任意の直線に対して直線上にない点が取れるのでPQ上にない点をRとする。
ここでRPQと問題1より、PQRが成り立つ。よって、点Pを通らない直線としてQRが取れた。

おわりに

今回は結合構造の中でも有名な分野である結合幾何について紹介しました。

以上です。

参考文献

[2]
寺垣内 政一, 平面幾何の公理的構築, 広島大学出版会, 2019
[3]
F. Buekenhout (編纂) , Handbook of Incidence Geometry: Buildings and Foundations, North Holland, 1995
[4]
Jack H. van Lint & Richard M. Wilson, 組合せ論 上, 丸善出版, 2018, 第19章 デザイン理論
投稿日:2023414
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ogata_k
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興味の赴くまま数学をやってます。 (有向・無向・ハイパー)グラフが好きです。

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  1. 結合幾何学とは
  2. 定義
  3. 具体例
  4. 練習問題
  5. おわりに
  6. 参考文献