点と直線とこれらの接続の仕方をまとめた結合構造と呼ばれる構造を用いて行う幾何のことを結合幾何と呼び、その結合幾何について考える分野を結合幾何学と呼ぶ。
接続の仕方しか考慮しなくてよいので、結合幾何はいろいろな分野で利用されている。幾何学のほかに、例えば組合せ論や論理学などにも応用されてる。
結合構造について、詳しくはMathlogの記事
結合構造基礎の基礎
を参照してほしい。
結合構造
点の集合
直線
直線
異なる点
結合幾何の定義より
ここでいくつか具体例を見ていく。
このとき結合構造
このとき結合構造
9点と12直線を持つ位数3の有限アフィン平面の図。同じ色の「直線」は「平行」の関係にある
Wikipediaの有限幾何学>有限平面>有限アフィン平面
参照
このとき結合構造
7点と7直線を持つファノ平面の図
Wikipediaの有限幾何学>有限平面>有限射影平面
参照
このとき、
実は、
(詳しくは
Wikipediaのブロックデザイン
参照)
相異なる点
1=>2=>3=>1を示すことができれば4と1が同値であることがすぐわかる。
まず1=>2を示す。
もし
2=>3, 3=>1も同様に示すことができる。
任意の点に対してその点で交わる直線が少なくとも2本存在する。
任意の点を
いま、
任意の点に対してその点を通らない直線が存在する。
任意の点を
ここで
今回は結合構造の中でも有名な分野である結合幾何について紹介しました。
以上です。