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エルデシュ予想、シェルピンスキー予想は偽であることの証明

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$$$$

$4/n=1/x+1/y+1/z$
$4-n/x=n(y+z)/yz$
$n$が5以上の素数の時
$1/x+(y+z)/yz=u/n$$(u:=4$または$5$、または$n$と互いに素の自然数)
$s+t=uxyz/n(s=yz, t=x(y+z))$
今、$u\neq n$
$∴x, y, z$のどれかが$an(a=1,2,3)$だが、$x=an$としても一般性は失われない。
(補足。
$1/x+1/y+1/z\leqq3$
$4/n=1/x+1/y+1/z$より
$4/n\leqq3$
$x\geqq 4n$だと、$x/n \geqq4, \therefore x/n \geqq 4>3\geqq 1/x+1/y+1/z$
よって$4/n\neq 1/x+1/y+1/z$

$a=1$の時
$x/n=1$より
$4-1=3=n(y+z)/yz$
$y, z≦2$の場合は、成り立つと既に判明している。成り立たない場合を調べる。$y, z>2$の場合$y+z< yz$
$y=z=2$の場合、具体的に求まり、
$\begin{eqnarray} &1/x+1/y+1/z&=1/n+(1/2*2)\\ &&=1/n+1 &&\neq 4,5 \end{eqnarray} $
つまり矛盾するので
$(x, y, z)\neq (n, 2, 2)$
よって、この($y, z>2$の場合$y+z< yz$という)条件より$y$$z$のどちらかは1
$∴3=n/z+z$
$∴n/z=1, 2 n=z, 2z$
つまり、$n$が5以上の自然数の時、$x=z=n$または$x=n,z=2n$のどちらかで、前者は$y=n/2$、後者は$y=2n/5$だが、両方共自然数でないので偽 シェルピンスキー予想の場合前者は$y=3/n$、後者は$y=7/2n$なので、両方共自然数でないのでやはり偽
$a=2$の時
$x/n=2$より
$4-2=2=n(y+z)/yz$
$y+z< yz$などの条件より$y$$z$のどちらかは1
$∴2=n/z+z$
$∴n/z=1$
$∴n=z=1$
シェルピンスキー予想は前述のエルデシュ予想と同じ計算結果になる。
従ってエルデシュ予想、シェルピンスキー予想共に偽
$a=3$の時
$x/n=3$より
$4-3=1=n(y+z)/yz$
$∴n(y+z)=yz$
(y, z)=(n, y+z), (y+z, n)
このような組み合わせは存在しないので$a\neq3$
シェルピンスキー予想は前述のエルデシュ予想と同じ計算結果になる。
従ってエルデシュ予想、シェルピンスキー予想共に偽

∴全ての場合でエルデシュ予想、シェルピンスキー予想共に偽であることが言えた。

こうぼくん「エルデシュ予想は難しいね」
かわぐちさん「うん」
たまねぎくん(ネギネギ)

投稿日:2023418
更新日:2023129

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