ツォルンの補題の証明（厳密には一般化されていないので証明ではない説明を含む。厳密な証明もまた含む）

この文章の大半は厳密には証明ではない。
しかし、どんなバカでも変数を一般化するだけで証明できるように書く。ただし、選択公理は仮定する。

一般に、空集合に元を追加すると整列集合になる。
証明は、一つずつ追加すればいい。無限個元があっても同じ。1,4,6を順番に追加した場合の例を挙げる。

まず6。　6のみを元に持つ集合は整列集合である。
次に1を追加し、その際に整列集合になるように追加する。ここでは左の元が小さいように並べて整列集合にする。
1, 6　となる。これは整列集合であり、整列集合であるように1を手前に追加することは当然できる。
そして、最後に4を追加する。当然真ん中に来るが、4でなくどんな元であっても、追加すべき場所に追加することで整列集合になる。
1, 4, 6
（証明ここから）結論として、自然数は全順序なので、整列定理は常に成り立つことが言える。（証明ここまで）
この括弧で括られた箇所の間が厳密な証明である。だが、分かりやすいように説明を付け加えた。