n次の漸化式、 2次の漸化式の早い解き方

n次の漸化式、
2次の漸化式の早い解き方

$A_1=x,A_{n+1}=f(A_n)$
$A_{n+2}=f^2(A_n)$
$A_{n+4}=f^{2^2}(A_n)$
$A_{n+8}=f^{2^{2^2}}(A_n)$
$⋮$
$A_{n+2^k}=f^{2^{2^{2^{\cdots 2}}}}(A_n)$
任意の漸化式は、二進法で上記の式を組み合わせて作ることができる。
計算結果を保存しておけば、辞書になり、式に代入するだけで求まる。