ブロカールの問題の証明

ブロカールの問題の証明

ブロカールの問題の概要

$n!+1=m^2$
となる自然数$n$と$m$の組はブラウン数と呼ばれる。ブラウン数が
$(4,5),(5,11),(7,71)$
以外に存在するか、これがブロカールの問題である。

解法

ブラウン数が
$(4,5),(5,11),(7,71)$以外に存在しないことを示します。

$n!<(n/2{)}^n$


こうぼくん「？？？」

たまねぎくんの解説
$N,m\in \mathbb{N}$
$N^2$
と
$(N+m)(N-m)=N^2-m^2$
は、$N^2$の方が大きいです。
$m$が大きい程差が大きくなります。


$M<n^{2k}+1$
$M-1=m$とすると
$n<2k$より
$f(x)=\frac{m^{\frac{1}{2x}}}{2x}<1$
$f^{\prime }(x)=\frac{m^{\frac{x}{2}}(xlogm-2)}{4x^2}$
$0<f(x)<1$
$x=2/(logm)$の時$f(x)$は最小で
$m>2/(logm)$だが、$0<f(x)<1$なので
$f(m)=\frac{m^{1/(logm)}logm}{4}<1$
$m=e$の時
$f(m)=\frac{e}{4}<1$
$m=e^2$とすると
$\frac{e\ast 2}{4}<1$
$e<2$
これは矛盾する
$\therefore m<e^2=7.38\dots$

よって題意が示せた
■