（誤りかもしれません）特定の自然数が条件を満たすことの証明

登場する数は全て自然数とする。
$a^2+b^2=e^2$
$b^2+c^2=f^2$
$c^2+a^2=g^2$
$a^2+b^2+c^2=d^2$

この4つの式を同時に満たす変数a, b, c, d, e, f, gは必ず存在することを証明します。

$\begin{eqnarray} &F&=2(a^2+b^2+c^2)\\ &&=e^2+f^2+g^2\\ &&=e^2f^2g^2( \frac{e^2}{e^2f^2g^2} +\frac{f^2}{e^2f^2g^2} +\frac{g^2}{e^2f^2g^2} ) \end{eqnarray}$

$1/fg=s, 1/eg=t, 1/ef=u$とする。
$\begin{eqnarray} &F&=\frac{1}{stu}(s^2+t^2+u^2)\\ &&=\frac{1}{stu}\frac{(s+t)^2+(t+u)^2+(s+u)^2-2(st+tu+su)}{2} \end{eqnarray}$
$s+t=v_1, st=v_2, t+u=w_1, tu=w_2, s+u=x_1, su=x_2$とすると
$F=\frac{1}{2stu}\bigl \lbrace v_1^2+w_1^2+x_1^2 -2(v_2+w_2+x_2)\bigr \rbrace$
$v_1-1=v_3, w_1-1=w_3, x_1-1=x_3$とすると
$F=\frac{1}{2stu}\Bigl \lbrack(v_3^2+w_3^2+x_3^2-3)+2(st+tu+us)-2\bigl \lbrace(s+t)+(t+u)+(u+s)\bigr \rbrace\Bigr \rbrack$
$s, t, u<1より$
$F=\frac{1}{2stu}\bigl \lbrace(v_3^2+w_3^2+x_3^2-3)-T\bigr \rbrace$
$2stuF+T+3=v_3^2+w_3^2+x_3^2$
今
$0<2stuF<2/9$
$0< st+tu+su<1/9$
$0<2\bigl \lbrace (s+t)+(t+u)+(u+s)\bigr \rbrace <2/3$
$∴0< T<5/9$
$0<2stuF+T+3<34/9$
$0< v_1, w_1, x_1<1$より
$-1< v_3, w_3, x_3<0$
$e, f, g>3$より
$-1< v_3, w_3, x_3<-8/9$
$∴192/81< v_3^2+w_3^2+x_3^2<1$
よって題意が示せた。
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編集後記
証明したのがかなり遠い過去なので意味がよく分かりませんが、証明できてよかったです。
更に追記
全く証明になっていない！
と思ったら、反証でなく証明になったようです。
多分。
十分条件になっていないのかな。
少し修正すると上手い証明になるかもしれません。
証明になっていなくても、証明をするならこの路線しかあり得ないと思うので残しておきます。