ウィルソンの定理を拡張する話

$f(x)=x^{\phi (n)}-1$を考える。定理2より$i\mathrm{\perp }n$かつ$0<i<n$であるような全てのiについて$f(i)\equiv 0(\mathrm{mod}n)$が成り立つので、因数定理よりf(x)は$\prod _i(x-i)$を因数にもつ。f(x)と$\prod _i(x-i)$は共に次数$\phi (n)$かつ最高次の係数がどちらも1なので、$\prod _i(x-i)\equiv f(x)(\mathrm{mod}n)$である。これにx=0を代入すると$(-1{)}^{\phi (n)}\prod _{i}i\equiv -1(\mathrm{mod}n)$が分かり、定理2から導かれる$(-1{)}^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$と合わせて所望の式を得る。

以下、$K$の零元を0、乗法単位元を1、乗法単位元の加法逆元を-1と略記する。
$K$から0を除くと可換な乗法群が得られ、これは逆元を取る操作について閉じている。特に、$K$から0,1,-1を除いた集合は$A\cup B=K-\{0,1,-1\},\mathrm{\forall }a\in A\mathrm{\exists }b\in B\{AB=1\}$を満たすように2つの集合A,Bに分割できる。有限体は可換であるので、所望の値は$\prod _{a\in K-\{0\}}a=1\times (-1)\times \prod _{x\in A,y\in B}xy=1\times (-1)\times 1=-1$である。