ウィルソンの定理を拡張する話

$ f(x)=x^{\varphi(n) }-1$を考える。定理2より$i\bot n$かつ$0 \lt i\lt n$であるような全てのiについて$f(i)\equiv 0\pmod n$が成り立つので、因数定理よりf(x)は$ \prod_{i} (x-i)$を因数にもつ。f(x)と$ \prod_i (x-i)$は共に次数$\varphi (n)$かつ最高次の係数がどちらも1なので、$\prod_i (x-i)\equiv f(x)\pmod n$である。これにx=0を代入すると$(-1)^{\varphi (n)}\prod_{i}i\equiv -1\pmod n$が分かり、定理2から導かれる$(-1)^{\varphi (n)}\equiv 1\pmod n$と合わせて所望の式を得る。

以下、$K$の零元を0、乗法単位元を1、乗法単位元の加法逆元を-1と略記する。
$K$から0を除くと可換な乗法群が得られ、これは逆元を取る操作について閉じている。特に、$K$から0,1,-1を除いた集合は$A \cup B=K-\{0,1,-1\}, \forall a \in A \exists b\in B\{AB=1\}$を満たすように2つの集合A,Bに分割できる。有限体は可換であるので、所望の値は$\prod_{a\in K-\{0\}}a=1\times(-1)\times\prod_{x\in A,y\in B}xy=1\times(-1)\times1=-1$である。