双曲線関数の無限積の高校範囲での証明（論文の要旨）

以下の$\sinh$ の無限積は，以下のように高校範囲で証明することができる．

$$\frac{e^{\pi x}-e^{-\pi x}}{2}=\pi x\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\prod _{k=1}^n(1+\frac{x^2}{k^2})$$

詳しく書けば長くなるので，以下に証明のプロットのみを示す．興味のあるかたは実際に手を動かして計算してみてほしい．なお，以下の証明はDavid Salwinski氏が2018年にThe College Mathematics Journalに公開したものである．

(i)${\displaystyle a_n={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}xdx}$とおいたとき，漸化式$a_{n+2}={\displaystyle \frac{n+1}{n+2}}{a}_n$が成り立つことを示す．

(ii)被積分関数に注目したときに導かれる漸化式$a_{n+1}{a}_n<a_n^2<a_{n-1}{a}_n$と，$n{a}_n{a}_{n-1}$が$n$によらない定数になるという事実および(i)の
漸化式を用いて．${\displaystyle \frac{\pi }{2n+2}<a_n^2<\frac{\pi }{2n}}$が成り立つことを示す

(iii)不等式$x<\tan x$および，等式$1+{\tan }^{2}t={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}$が$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で成り立つことから得られる，$t\in [0,\pi /2)$において成り立つ不等式$\cos t<(1+t^2{)}^{-\frac{1}{2}}$を示す．

(iv)$f$を$[0,\pi /2]$上連続であり，「$[0,\pi /2]$上にある任意の実数$t$に対して$|f(t)-f(0)|\le Mt$となる」ような正の実数$M$が存在するような関数とするとき，${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{I_n}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(x){\cos }^{n}xdx=f(0)}$が成り立つことを示す．

注意：$0\leqq {\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{I_n}}|{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(x){\cos }^{n}xdx-{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(0){\cos }^{n}xdx|={\displaystyle \frac{1}{I_n}}|{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(f(x)-f(0)){\cos }^{n}xdx|}$において(iii)と(iv)の不等式を用いて，積分可能な無理関数の積分に帰着したのち，(ii)の不等式を用いて上から評価すると，${\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{I_n}}|{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(x){\cos }^{n}xdx-{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(0){\cos }^{n}xdx|}$が0に収束することが分かる．

(v)$\cosh x=(e^x+e^{-x})/2,\sinh x=(e^x-e^{-x})/2$とおいて，固定された0でない実数$x$に対する数列

$$J_n={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2n}t\cosh \left(2xt\right)dt$$

についての漸化式

$$J_{2n}=\frac{2n-1}{2n}(1+\frac{x^2}{n^2})J_{2n-2}$$

を導く．

(vi) (v)の漸化式を繰り返し適用してつぎの等式を導く．

$$\sinh \left(\pi x\right)=\pi x\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{J_{2n}}{a_{2n}}\prod _{k=1}^n(1+\frac{x^2}{k^2})$$

(vii) (iv)において，$f(t)=\cosh \left(2xt\right),M=(f(\pi /2)-0)/(\pi /2)$とおいて，$I_{2n}/a_{2n}$の$n\to \mathrm{\infty }$における極限が1であることを示す．

ここから

$$\frac{e^{\pi x}-e^{-\pi x}}{2}=\pi x\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\prod _{k=1}^n(1+\frac{x^2}{k^2})$$

を導くことができる．