自然数のみを値に持つ級数の近似の2次式を漸化式として計算すると分かる変な等式の存在

自然数のみを値に持つ級数の近似の2次式を漸化式として計算すると分かる変な等式の存在

$f(x)=x^2+ax+b$
これが既約多項式の時、
$f(0)=b$
$\begin{array}{rcl}& f(n)& =(n-1{)}^2+a(n-1)+b+2n-1+a\\ & & =f(n-1)+b+2n+a-1\\ & & =f(n-2)+b+2(n-1)+a-1+b+2n+a-1\\ & & =f(0)+n(b+a-1)+2n(n+1)/2\\ & & =n^2+(a+b)n+b\\ & & =n^2+an+b\end{array}$

$\therefore b=0$
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？？？