Hirsch 微分トポロジーの問題1.3.1、1.3.2

　$f$ははめ込みなので連続。従って、$f$はコンパクト空間からHausdorff空間$f(M)$への連続全単射なので、同相写像である。
　また、$f$がはめ込みなので、その微分は各点で単射。
　従って、各点$p\in M$とその近傍$U$に対して定ランク定理より、$f$を局所座標でみると、$\mathbb R^n$の後ろ$m-n$成分が全て0となるような局所座標が存在し、それによって$f(U)$が$N$の部分多様体として局所的に埋め込まれている事がわかる。
　このようにして、各点$f(p)$にチャート$(f(U),\phi\circ f^{-1})$が存在する事がわかり、$f(M)$はこれにより$N$の部分多様体である事がわかる。
　故に、定理1.3.1(部分集合が部分多様体であることの必要十分条件は、それが埋め込みの像であること)より、$f(M)$は埋め込みの像である事から従う。

　多様体の“外側”に向かうように無限個の点列$\{p_n\}$をとって(上手くコンパクト増大列$\{K_n\}$をとって、各$n$に対して空でない$K_{n+1}\backslash K_n$の元を取れば良い。多様体がコンパクトでないので、この操作は可能。)、それを“外側に”結んで出来る区分的に$C^r$級な曲線をとる(これも連結性と$C^r$級微分構造を持っているから可能)。
　また、各点$p_n$周りを局所座標で見て、区分的に$C^r$な曲線の角を平滑化したものを多様体に引き戻せば、それにより全体で$C^r$級の単射properな曲線$\gamma:[0,\infty)\to M$を得る。
　これは局所コンパクトHausdorff空間への曲線なので、“位相的に”埋め込みである。
　よって$r=0$ならこれで証明が完了。以降は$r\geq 1$を仮定する。

　示すべきは、$\gamma'(t)\neq 0$となるように曲線を取り直せることである。

　仮に、$\gamma'(t_0)=0$なる点$t_0$があったとする。このとき、適当に小さい$t_0$開近傍$I$と、$\gamma(t_0)$の開近傍$B\subset M$をとって、$B\cap \gamma[0,\infty)=\gamma(\overline I)$、
$\gamma'(t)\neq 0,(t\in I)$、かつ$I$の端で、もとの$\gamma$と$r$階微分まで一致、となるように$\gamma$を$t_0$付近で摂動させて取り直せる。
　特に、$B$を十分小さくとってこの取り直しを行うことで、各点で干渉せずにこの操作を行えるため、よってこれにより$\gamma$の微分が各点で$0$にならないように$\gamma$を取り直せる。

　故にこの$\gamma$により、$M$への閉$C^r$埋め込みができる。