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市松模様テクニック

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0.市松模様とは

市松模様 市松模様
こんな感じの模様です。

1.有名なテクニック

問題$1$
$10×10$のマス目をT型テトロミノで敷き詰められない事を示せ。

Tmino Tmino
 
背理法で示します。
マス目を白と青の市松模様に塗ると、T型テトロミノ(以下T)を置いた時、
①白$1$マス、青$3$マスにかかる
②青$3$マス、白$1$マスにかかる
のどちらかになります。
Tichimatu Tichimatu
盤面の白と青の個数は同じなので、
①を満たすTと②を満たすTの個数は等しくなければいけません。
しかし、Tの個数は$25$個なのでそんなことはありえません。
よって背理法により示されました。

2.さらなるテクニック

問題2
$10×10$のマス目をI型テトロミノで敷き詰められない事を示せ。

Imino Imino
これも背理法で示します。
マス目を市松模様を$2$倍に引きのばしたように塗ります。
bigichimatu bigichimatu
I型テトロミノを置くと、必ず白$2$マス、青$2$マスにかかります。
Ioki Ioki
白いマスは$48$マスしかないのでI型テトロミノは$24$個より多く置けません。
しかし、I型テトロミノは$25$個置かなければならないので矛盾します。
よって背理法により示されました。

3.おわりに

何かこれだけじゃ物足りないので、最後にかなり難しめの自作問題を出します。(というか、今までのが前座です)

問題3
$3×6$のマス目を白と黒で塗ります。その塗り方のスコアを、
$2^p$ $(p=(白の連結成分の個数)+(黒の連結成分の個数))$とします。
この時、塗り方2^18通り全てのスコアの和を求めてください。

(例)下の図の場合、白の連結成分は$3$つで、黒の連結成分も$3$つなのでスコアは$64$です。
36 36
解答は載せません。

投稿日:20201110

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simasima
simasima
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