二重ゼータ値の制限付き和公式のシンプルな証明
二重ゼータ値にはいくつかの制限付き和公式が知られている.
$2\leq k$に対し, 以下の等式が成り立つ.
\begin{align}
\sum_{0< a,b,a+b=k}\zeta(2a,2b)&=\frac 34\zeta(2k)\\
\sum_{0< a,b,a+b=k}\zeta(2a-1,2b+1)&=\frac 14\zeta(2k)
\end{align}
2つの式の和は和公式
\begin{align}
\sum_{0< a,1< b,a+b=2k}\zeta(a,b)=\zeta(2k)
\end{align}
になるので, 上の式を示せば十分である.
\begin{align}
\sum_{0\leq a,b,a+b=k-1}\zeta(2a+2,2b+2)&=\sum_{0< n< m}\frac 1{n^2m^2}\sum_{0\leq a,b,a+b=k-1}\frac 1{n^{2a}m^{2b}}\\
&=\sum_{0< n< m}\frac 1{n^2m^2}\frac{\frac 1{n^{2k}}-\frac 1{m^{2k}}}{\frac 1{n^2}-\frac 1{m^2}}\\
&=\sum_{0< n< m}\frac 1{n^{2k}}\frac 1{m^2-n^2}-\sum_{0< n< m}\frac 1{m^{2k}}\frac 1{m^2-n^2}\\
&=\sum_{0< n}\frac 1{n^{2k}}\sum_{n< m}\frac 1{m^2-n^2}-\sum_{0< m}\frac 1{m^{2k}}\sum_{n=1}^{m-1}\frac 1{m^2-n^2}
\end{align}
ここで,
\begin{align}
\sum_{n< m}\frac 1{m^2-n^2}&=\frac 1{2n}\sum_{n< m}\left(\frac 1{m-n}-\frac 1{m+n}\right)\\
&=\frac 1{2n}\sum_{0< m}\left(\frac 1m-\frac 1{m+2n}\right)\\
&=\frac 1{2n}\sum_{m=1}^{2n}\frac 1m\\
\sum_{n=1}^{m-1}\frac 1{m^2-n^2}&=\frac 1{2m}\sum_{n=1}^{m-1}\left(\frac 1{m-n}+\frac 1{m+n}\right)\\
&=\frac 1{2m}\left(\sum_{n=1}^{2m-1}\frac 1n-\frac 1m\right)\\
\end{align}
であるから, これらを代入すると,
\begin{align}
\sum_{0\leq a,b,a+b=k-1}\zeta(2a+2,2b+2)&=\frac 12\sum_{0< n}\frac 1{n^{2k+1}}\sum_{m=1}^{2n}\frac 1{m}-\frac 12\sum_{0< m}\frac 1{m^{2k+1}}\sum_{n=1}^{2m-1}\frac 1n+\frac 12\zeta(2k+2)\\
&=\frac 14\zeta(2k+2)+\frac 12\zeta(2k+2)\\
&=\frac 34\zeta(2k+2)
\end{align}
となって示すべき等式が得られた.
上の結果はインデックスが2ずつ動いていく$\mathrm{mod}\, 2$の制限付き和公式と言えるものであるが, 他に以下のような$\mathrm{mod}\,6$の二重ゼータ値の制限付き和公式がMachideによって示されている.
$k\geq 4$のとき,
\begin{align}
\left(\sum_{b=3\pmod 6}'-\sum_{b=4\pmod 6}'-\sum_{b=5\pmod 6}'\right)\zeta(a,b)&=\frac 13\sum_{b=1\pmod 2}'\zeta(a,b)\qquad k=0\pmod 3\\
\left(\sum_{b=3\pmod 6}'+\sum_{b=4\pmod 6}'-\sum_{b=5\pmod 6}'\right)\zeta(a,b)&=\frac 13\sum_{b=0\pmod 2}'\zeta(a,b)\qquad k=1\pmod 3\\
\sum_{b=4\pmod 6}'\zeta(a,b)&=\frac 16\zeta(k)-\frac 13\sum_{b=1\pmod 2}'\zeta(a,b)\qquad k=2\pmod 3
\end{align}
が成り立つ. ここで, $\sum'$は$a+b=k, b\geq 2$の範囲で和をとるものとする.
ここでは特に, 最後の式の$k$を偶数に制限して定理1を用いて得られる
\begin{align}
\sum_{b=4\pmod 6}'\zeta(a,b)&=\frac 1{12}\zeta(k)\qquad k=2\pmod 6
\end{align}
に直接的な証明を与えたいと思う. 示すべき等式は
\begin{align}
\sum_{0\leq a,b,a+b=k-1}\zeta(6a+4,6b+4)&=\frac 1{12}\zeta(6k+2)
\end{align}
と書き換えられる. 右辺は
\begin{align}
\sum_{0\leq a,b,a+b=k-1}\zeta(6a+4,6b+4)&=\sum_{0< n< m}\frac 1{n^4m^4}\sum_{0\leq a,b,a+b=k-1}\frac 1{n^{6a}m^{6a}}\\
&=\sum_{0< n< m}\frac 1{n^4m^4}\frac{\frac 1{n^{6k}}-\frac 1{m^{6k}}}{\frac 1{n^6}-\frac 1{m^6}}\\
&=\sum_{0< n< m}\frac{m^2}{n^{6k-2}(m^6-n^6)}-\sum_{0< n< m}\frac{n^2}{m^{6k-2}(m^6-n^6)}\\
&=\sum_{0< n< m}\frac{m^2}{n^{6k-2}(m^6-n^6)}-\sum_{0< m< n}\frac{m^2}{n^{6k-2}(n^6-m^6)}\\
&=\sum_{0< n}\frac 1{n^{6k-2}}\left(\sum_{n< m}\frac{m^2}{m^6-n^6}-\sum_{0< m< n}\frac{m^2}{n^6-m^6}\right)\\
&=\sum_{0< n}\frac 1{n^{6k-2}}\sum_{0< m,m\neq n}\frac{m^2}{m^6-n^6}
\end{align}
となる. ここで, 部分分数分解により$\omega:=e^{\frac{2\pi i}3}$として,
\begin{align}
\sum_{0< m,m\neq n}\frac{m^2}{m^6-n^6}&=\frac{1}{3n^2}\sum_{0< m,m\neq n}\left(\frac 1{m^2-n^2}+\frac{\omega^2}{m^2-n^2\omega}+\frac{\omega}{m^2-n^2\omega^2}\right)
\end{align}
である. 先ほどの計算から,
\begin{align}
\sum_{0< m,m\neq n}\frac 1{m^2-n^2}&=\frac 3{4n^2}
\end{align}
であり, また, $\cot$の部分分数分解より
\begin{align}
\sum_{0< m,m\neq n}\left(\frac{\omega^2}{m^2-n^2\omega}+\frac{\omega}{m^2-n^2\omega^2}\right)&=\sum_{0< m}\left(\frac{\omega^2}{m^2-n^2\omega}+\frac{\omega}{m^2-n^2\omega^2}\right)\\
&=\frac 12\sum_{m\in\ZZ}\left(\frac{\omega^2}{m^2-n^2\omega}+\frac{\omega}{m^2-n^2\omega^2}\right)-\frac 1{2n^2}\\
&=\frac 1{2n}\cot(\pi ne^{\frac{\pi i}3})+\frac 1{2n}\cot(\pi ne^{-\frac{\pi i}3})-\frac 1{2n^2}\\
&=\frac 1{2n}\Re\cot(\pi ne^{\frac{\pi i}3})-\frac 1{2n^2}\\
&=0
\end{align}
ここで, 最後の等号は$\cot(\pi ne^{\frac{\pi i}3})$は実部が$\frac{\pi n}2$であるから純虚数であることによる. よって, これらを合わせると,
\begin{align}
\sum_{0< m,m\neq n}\frac{m^2}{m^6-n^6}&=\frac 1{3n^2}\left(\frac 3{4n^2}-\frac 1{2n^2}\right)\\
&=\frac 1{12n^4}
\end{align}
となる. よって示すべき等式が得られた. 一般の定理2も同様の方法で上手くいくかどうかは試してみたいところである.
