歴史上の数学者さん達とコラボしてみた(*´∀｀*)

ガリレオシーケンス

・ガリレオ featuring みゆ
ガリレオ
みゆれお
$$\frac{1}{2}=\frac{1+2+3}{3+4+5}=\frac{1+2+3+4+5}{4+5+6+7+8}=\frac{1+2+3+4+5+6+7}{5+6+7+8+9+10+11}=\cdots$$

二平方恒等式

・ディオファントス featuring みゆ
ディオファントス
みゆふぁんとす
$$\begin{array}{rl}& (a^2+b^2-2ab\cos \theta )(c^2+d^2-2cd\cos \theta )\\ =& (ac-bd{)}^2+(ad+bc-2bd\cos \theta {)}^2-2(ac-bd)(ad+bc-2bd\cos \theta )\cos \theta \\ =& (ad-bc{)}^2+(ac+bd-2bc\cos \theta {)}^2-2(ad-bc)(ac+bd-2bc\cos \theta )\cos \theta \end{array}$$

円周率を求める公式

・マチン featuring みゆ
マチン
みゆん
$$\begin{array}{rl}& \mathrm{Arg}(Z_{\theta })=N\arctan \frac{\mathrm{Im}(Z)}{\mathrm{Re}(Z)}+\arctan \frac{\mathrm{Re}(Z^N)\sin \theta -\mathrm{Im}(Z^N)\cos \theta }{\mathrm{Re}(Z^N)\cos \theta +\mathrm{Im}(Z^N)\sin \theta }\\ & \mathrm{Arg}(1+i)=\frac{\pi }{4}=N\arctan \frac{\mathrm{Im}(Z)}{\mathrm{Re}(Z)}+\arctan \frac{\mathrm{Re}(Z^N)-\mathrm{Im}(Z^N)}{\mathrm{Re}(Z^N)+\mathrm{Im}(Z^N)}\\ & \mathrm{Arg}(i)=\frac{\pi }{2}=N\arctan \frac{\mathrm{Im}(Z)}{\mathrm{Re}(Z)}+\arctan \frac{\mathrm{Re}(Z^N)}{\mathrm{Im}(Z^N)}\\ \\ & \mathit{s}\mathit{.}\mathit{t}\mathit{.}\{\begin{array}{l}Z,Z_{\theta }\in \mathbb{C}\\ N\in \mathbb{Z}\\ -\frac{\pi }{2}<\mathrm{Arg}(Z_{\theta })=\theta \leqq \frac{\pi }{2}\\ 0\leqq \mathrm{Arg}(Z^N)<\frac{\pi }{2}\end{array}\end{array}$$

極座標と直交(斜交)座標の関係式

・オイラー featuring みゆ
オイラー
みゆらー
$$\begin{array}{rl}{e}^{z\theta }=& {\cos }_z\theta +z{\sin }_z\theta \\ =& (-\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{A_{k-1}{x}^k}{k!})+z\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{A_k{x}^k}{k!}\right)\\ \\ & \mathit{s}\mathit{.}\mathit{t}\mathit{.}\left(\begin{array}{c}{A}_{n+1}\\ A_n\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}2\cos \theta & -1\\ 1& 0\end{array}\right)}^n\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\end{array}$$

立方和の恒等式

・ラマヌジャン featuring みゆ
ラマヌジャン
みゆぬじゃん
$$\begin{array}{rl}& {(a{A}^2\pm (c+d)\sqrt{\frac{c-d}{b-a}}AB+b{B}^2)}^3+{(c{A}^2\pm (a+b)\sqrt{\frac{a-b}{d-c}}AB+d{B}^2)}^3\\ =& {(b{A}^2\pm (c+d)\sqrt{\frac{c-d}{b-a}}AB+a{B}^2)}^3+{(d{A}^2\pm (a+b)\sqrt{\frac{a-b}{d-c}}AB+c{B}^2)}^3\\ \\ & \mathit{s}\mathit{.}\mathit{t}\mathit{.}{a}^3+c^3=b^3+d^3\end{array}$$