1/((x-a)(x-b)(x-c)(x-d))を部分分数分解する
1/((x-a)(x-b)(x-c)(x-d))を部分分数分解する
多項式補間で用いられるラグランジュ補間を利用して$\frac{1}{(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)}$ を部分分数分解してみましょう。
まずは定数関数 $f(x)=1$ を４点 $(a,1),(b,1),(c,1),(d,1)$ でラグランジュ補間します。
${\displaystyle \begin{align} 1&=1\cdot\frac{(x-b)(x-c)(x-d)}{(a-b)(a-c)(a-d)}\\ &\qquad+1\cdot\frac{(x-a)(x-c)(x-d)}{(b-a)(b-c)(b-d)}\\ &\qquad +1\cdot\frac{(x-a)(x-b)(x-d)}{(c-a)(c-b)(c-d)}\\ &\qquad +1\cdot\frac{(x-a)(x-b)(x-c)}{(d-a)(d-b)(d-c)} \end{align} }$
次に、両辺を ${(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)}$ で割れば
${\displaystyle \begin{align} \frac{1}{(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)} &=\frac{1}{x-a}\cdot\frac{1}{(a-b)(a-c)(a-d)}\\ &\qquad +\frac{1}{x-b}\cdot\frac{1}{(b-a)(b-c)(b-d)}\\ &\qquad +\frac{1}{x-c}\cdot\frac{1}{(c-a)(c-b)(c-d)}\\ &\qquad +\frac{1}{x-d}\cdot\frac{1}{(d-a)(d-b)(d-c)} \end{align} }$
はい、部分分数分解できました!
上記は$a,b,c,d$が相異なる数のときしか使えません。
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