多項式補間で用いられるラグランジュ補間を利用して1(x−a)(x−b)(x−c)(x−d) を部分分数分解してみましょう。まずは定数関数 f(x)=1 を4点 (a,1),(b,1),(c,1),(d,1) でラグランジュ補間します。
1=1⋅(x−b)(x−c)(x−d)(a−b)(a−c)(a−d)+1⋅(x−a)(x−c)(x−d)(b−a)(b−c)(b−d)+1⋅(x−a)(x−b)(x−d)(c−a)(c−b)(c−d)+1⋅(x−a)(x−b)(x−c)(d−a)(d−b)(d−c)
次に、両辺を (x−a)(x−b)(x−c)(x−d) で割れば
1(x−a)(x−b)(x−c)(x−d)=1x−a⋅1(a−b)(a−c)(a−d)+1x−b⋅1(b−a)(b−c)(b−d)+1x−c⋅1(c−a)(c−b)(c−d)+1x−d⋅1(d−a)(d−b)(d−c)
はい、部分分数分解できました!
上記はa,b,c,dが相異なる数のときしか使えません。
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