1/((x-a)(x-b)(x-c)(x-d))を部分分数分解する

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1/((x-a)(x-b)(x-c)(x-d))を部分分数分解する

多項式補間で用いられるラグランジュ補間を利用して $\frac{1}{(x - a) (x - b) (x - c) (x - d)}$ 　を部分分数分解してみましょう。
まずは定数関数　 $f (x) = 1$ を４点 $(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)$ でラグランジュ補間します。

$\begin{aligned} 1 & = 1 \cdot \frac{(x - b) (x - c) (x - d)}{(a - b) (a - c) (a - d)} \\ + 1 \cdot \frac{(x - a) (x - c) (x - d)}{(b - a) (b - c) (b - d)} \\ + 1 \cdot \frac{(x - a) (x - b) (x - d)}{(c - a) (c - b) (c - d)} \\ + 1 \cdot \frac{(x - a) (x - b) (x - c)}{(d - a) (d - b) (d - c)} \end{aligned}$

次に、両辺を $(x - a) (x - b) (x - c) (x - d)$ で割れば

部分分数分解

$\begin{aligned} \frac{1}{(x - a) (x - b) (x - c) (x - d)} & = \frac{1}{x - a} \cdot \frac{1}{(a - b) (a - c) (a - d)} \\ + \frac{1}{x - b} \cdot \frac{1}{(b - a) (b - c) (b - d)} \\ + \frac{1}{x - c} \cdot \frac{1}{(c - a) (c - b) (c - d)} \\ + \frac{1}{x - d} \cdot \frac{1}{(d - a) (d - b) (d - c)} \end{aligned}$