ゆーてるのハロウィンコンテスト"Trick or Mathematics"の解説(数学会報誌11月号)

以下がコンテスト内容になります。

[1]容易編
概ね簡単な問題から順に並んでいる。

[2]困難編
注意:飛躍的に難易度が上がっています。

解説
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$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \\ ( 1)\sqrt{\frac{782！+783！+785！}{782!}}\\ =\sqrt{\frac{782！+782!\times 783+782!\times 783\times 784\times 785}{782!}}\\ =\sqrt{1+783+( 784-1) \times 784\times ( 784+1)}\\ =\sqrt{784+784( 784\hat{}2-1)}\\ =\sqrt{784^{3}}\\ \\ =21952\\ \\ ( 2)\\ 1桁で成立するのはn=1のみ。\\ \\ [ 補題] 1< nで、R( n) S( n)\\ =nが成立するとき、nの1の位は0である。\\ \\ [ 証明]\\ nの1の位が0でないなら、R( n) とnの桁数は一致するので、\\ m+1を桁数として、\\ n/R( n) \leq 9\\ S( n) \leq 9\\ 0\leq A_{i} \leq 9( 0\leq i\leq m) として、\\ n=10^{m} A_{m} +10^{m-1} A_{m-1} +\dotsc +10A_{1} +A_{0} と表すと、\\ 10^{m} A_{m} +10^{m-1} A_{m-1} +\dotsc +10A_{1} +A_{0}\\ =\left( A_{m} +10 A_{m-1} +\dotsc +10^{m-1} A_{1} +10^{m} A_{0}\right)( A_{m} +A_{m-1} +\dotsc +A_{1} +A_{0})\\ 9を法として、\\ S( n) \equiv S( n)^{2}\\ 0\equiv ( S( n) -1) S( n)\\ S( n) \leq 9だから、S( n) =1または9\\ S( n) =1ならばnの1の位が0でないのでn=1のみ条件を満たす。\\ S( n) =9ならばA_{m} =1,A_{0} =9となるので不成立。\\ \\ nの1の位が0であるとき、S( n) =10k\ ( kは自然数)\\ ありうるnを順に並べると、\\ 190,280,370,460,550,640,730,820,910,1090,1180,1270,1360,1450,1540,\\ 1630,1720,1810\dotsc \\ この中で10R( n) =nとなるのはn=550,1810,2620,\dotsc \\ よって1810が答え。\\ \\ ( 3) 四角形BCDの外接円の中心をOとする。\\ C'Cの中点がOとなるようにC'をとる。\\ 円周角より、\angle BEC=\angle BDC=45度\\ Pを\angle BCOの二等分線と外接円の交点で、Cでない方とすると、\\ 四角形PBCEは等脚台形となり、AB=CE\\ P,O,Eは共線で、\angle ACE=90度だから、PCとBEの交点をF'として、\\ \Delta F'CEは二等辺三角形であり、PB=F'C\\ PはAについての条件を満たす。\\ CFの最大値はBCであり、Aが孤C'D上だとAB >BCで、条件は満たさない。\\ Bから始めて、Aを動かすと、ABはだんだん大きくなるのに対して、\\ CFはだんだん小さくなる。よってAはPでないと条件を満たさない。\\ CD=\surd 2BO\\ 余弦定理より、\\ AB^{2} =( 2-\surd 2) BO\\ \Delta ABG\sim \Delta CDGより、\\ \Delta ABG/\Delta CDG=AB^{2} /CD^{2} =\frac{2-\sqrt{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}} =\frac{2-\sqrt{2}}{2}\\ \\ ( 4)\\ \\ ブラーマグプタの公式より、方程式の解をa,b,c,d,\\ s=\frac{a+b+c+d}{2}\\ とすると、\sqrt{( s-a)( s-b)( s-c)( s-d)}\\ が答えとなる。f( x)\\ =x^{4} -34x^{3} +373x^{2} -1526x+1777=( x-a)( x-b)( x-c)( x-b)\\ \\ として、解と係数の関係より、a+b+c+d=34で、s=17\\ よって、\sqrt{f( 17)}\\ \\ を計算すると\sqrt{111}\\ \\ ( 5)\\ \\ 母関数を用いて解くことができる。各位に7を含まず、\\ なおかつ7の倍数であるような整数( 0〜10^{100}-1)\\ の個数を求める。\upzeta を1の7乗根として、\\ f( x) =\left( 1+2x+2x^{2} +x^{3} +x^{4} +x^{5} +x^{6}\right)^{17}\left( 1+x+2x^{2} +x^{3} +2x^{4} +x^{5} +x^{6}\right)^{17}\\ \left( 1+x+x^{2} +2x^{3} +x^{4} +x^{5} +2x^{6}\right)^{17}\left( 1+2x+x^{2} +x^{3} +2x^{4} +x^{5} +x^{6}\right)^{17}\\ \left( 1+x+x^{2} +2x^{3} +x^{4} +2x^{5} +x^{6}\right)^{16}\left( 1+x+x^{2} +x^{3} +x^{4} +2x^{5} +2x^{6}\right)^{16}\\ \\ \sum _{i=1}^{\infty }\left[ x^{7i}\right] f　をもとめよう。\\ これは\frac{f( 1) +f( \upzeta ) +f\left( \upzeta ^{2}\right) +f\left( \upzeta ^{3}\right) +f\left( \upzeta ^{4}\right) +f\left( \upzeta ^{5}\right) +f\left( \upzeta ^{6}\right)}{7} と一致する。\\ f( 1) =9^{100}\\ f( \upzeta ) =\left( \upzeta +\upzeta ^{2}\right)^{17}\left( \upzeta ^{2} +\upzeta ^{4}\right)^{17}\left( \upzeta ^{3} +\upzeta ^{6}\right)^{17}\left( \upzeta +\upzeta ^{4}\right)^{17}\left( \upzeta ^{3} +\upzeta ^{5}\right)^{16}\left( \upzeta ^{5} +\upzeta ^{6}\right)^{16}\\ =( 1+\zeta )^{33}\left( 1+\zeta ^{2}\right)^{33}\left( 1+\zeta ^{3}\right)^{33}\left( \upzeta +\upzeta ^{4}\right)\\ =\left( 1+\zeta +\zeta ^{2} +2\zeta ^{3} +\zeta ^{4} +\zeta ^{5} +\zeta ^{6}\right)^{33}\left( \upzeta +\upzeta ^{4}\right)\\ =\zeta ^{99}\left( \zeta +\zeta ^{4}\right) =\zeta ^{2} +\zeta ^{5}\\ f( \upzeta ) +f\left( \upzeta ^{2}\right) +f\left( \upzeta ^{3}\right) +f\left( \upzeta ^{4}\right) +f\left( \upzeta ^{5}\right) +f\left( \upzeta ^{6}\right)\\ =2\left( \zeta +\zeta ^{2} +\zeta ^{3} +\zeta ^{4} +\zeta ^{5} +\zeta ^{6}\right) =-2\\ よって、\sum _{i=1}^{\infty }\left[ x^{7i}\right] f=\frac{9^{100} -2}{7}\\ 各位に7を含まず、なおかつ7の倍数であるような整数( 1〜10^{100})\\ の個数と一致する。\\ 7を含むものの個数は10^{100} -9^{100} だから、\\ 10^{100} -9^{100} +\frac{9^{100} -2}{7} =10^{100} -\frac{6\times 9^{100}}{7} +\frac{2}{7}\\ これが答え。\\ \\ ( 6)\\ \frac{729^{n} -2n^{2} +4n-3}{3^{n} -n} が整数になればよい。\\ 729^{n} \equiv \left( 3^{n}\right)^{6} \equiv n^{6}\left( mod\ 3^{n} -n\right)\\ n^{6} -2n^{2} +4n-3\equiv 0と同値\\ n^{6} -2n^{2} +4n-3\geq 3^{n} -n\\ n >3ならn^{6} \geq 3^{n}\\ 14^{3} =2744\\ 3^{7} =2187\\ よって、n\geq 14のとき成立しない。\\ n=1,2,3,\dotsc ,13を調べたらよい。\\ n=1,3,11が答えとなる。\\ \\ ( 7) G'を重心、Mをmittenpunktとする。\\ ここでは、Mを、半直線GG'上で、GG':G'M=2:1となる点と定義する。\\ Sはシュピーカー点、Gはジュルゴンヌ点である。\\ オイラー線よりO,G',Hは共線で、OG':G'H=1:2\\ [ 補題]\\ H,S,Mは共線\\ [ 証明]\\ 重心座標を用いるとできる。\\ \\ よって、メネラウスの定理より、\\ 1=\frac{GS}{SX}\frac{XH}{HG'}\frac{G'M}{MG} =\frac{40}{13}\frac{XH}{HG'}\frac{1}{3}\\ \frac{HG'}{XH} =\frac{40}{39} \ \\ オイラー線より、\\ \frac{OX}{XH} =\frac{OH}{XH} -1=\frac{3}{2}\frac{HG'}{XH} -1=\frac{20}{13} -1=\frac{7}{13}\\ これが答えである。\\ \\ ( 8) 答えは32だ。この問題は、人間が答えられることを想定していない。後退解析を用いて\\ 答えを出すには考慮すべき局面が約10^{6} 個になる。\\ \\ にも関わらず、正解した人間が現れた。ぜひ解法を教えて下さい。\\ \end{array}$