漸化式からの数列の極限/名古屋大83年理系第１問
名古屋大83年理系第１問
$a$は正の数，$p,q$はともに正の整数とし，
$$a_1=1 , \qquad{a_n} ^{p} {a_{n-1}} ^{q}=a \qquad(n \geqq 2)$$
をみたす正数列を${ \lbrace a_n\rbrace }$とする．
（１）$a_n$を，$a , p , q , n$で表せ．
（２）$p>q$のとき，$$\lim_{n \to \infty}{a_n}$$を求めよ．
［解答］
与えられた条件から，$a_n>0$である．
$$b_n= \log_{}{a_n} $$
で，数列${ \lbrace b_n\rbrace }$を定義する．
$$b_1= \log_{}{a_1} \qquad b_1= 0$$
漸化式から，$c= \log_{}{a} $として，
$$pb_n+qb_{n-1}=c$$
$$p\beta+q\beta=c$$
$\beta=\frac{c}{p+q} $で，辺辺を引いて，
$$p(b_n-\beta)+q(b_{n-1}-\beta)=0$$
$$b_n-\beta=(- \frac{q}{p} )(b_{n-1}-\beta)$$
数列${ \lbrace b_n- \beta\rbrace}$は，公比$- \frac{q}{p}$の等比数列なので，
$$b_n- \beta=(- \frac{q}{p} )^{n-1}(b_1-\beta) $$
$$b_n=\beta-(- \frac{q}{p} )^{n-1}\beta $$
$$a_n= e^{b_n}=e^{\beta{(1-(- \frac{q}{p} )^{n-1})}} $$
$$e^\beta=e^{\frac{c}{p+q}}=e^{c\frac{1}{p+q}}=a^{\frac{1}{p+q}}$$
$$a_n=a^{\frac{1}{p+q}{(1-(- \frac{q}{p} )^{n-1})}}\qquad(n \geqq 2)\qquad$$
$\qquad\cdots$(ans)
（２）
$p>q \geqq 1$から，$ \left| - \frac{q}{p} \right|<1 $なので，
$$\lim_{n \to \infty}(- \frac{q}{p} )^{n-1}=0$$
なので，(1)で，
$$\lim_{n \to \infty}{a_n}=a^{\frac{1}{p+q}}$$
$\qquad\cdots$(ans)
