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現代数学議論
文献あり

微積分もハイパー演算に一般化してみたいときのmemo

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さて、 前回の記事 で既知の概念である乗法的微積分を行ってきましたが、
xが点(x,f(x))の前後でf(x)f(x)倍になる」
がそう(幾何微分)なら、
xが点(x,f(x))の前後でf(x)f(x)乗になる」
とか、
xが点(x,f(x))の前後でf(x)f(x)テトレーションになる」

(記号は適当)
みたいなことをしたくなるのが人間の性というものでしょう。

どのように一般化すべきか。まずは微分と幾何微分から法則性を見出してみる。

微分

f(x)=limh0f(x+h)f(x)h

f(x)=axのときf(x)=aの一定値

乗法的微分(幾何微分)

f(x)=limh0(f(x+h)f(x))1h

f(x)=axのときf(x)=aの一定値

冪法的微分(仮)の自然な定義?

thを微分でいう商(  )1h、幾何微分でいう(  )1hに対応する、同じテトレーションをされたものに作用させるともとの数に戻る作用としたとき
f3(x)=limh0th(f(x+h)1f(x))
となるのが自然?
またf(x)=xa=a↑↑xのときf3(x)=aの一定値になるのが自然

ここから妥当と考えられる定義のうちの1つ
f3(x)=limh0(1h(f(x+h)1f(x)))=limh0((f(x+h)1f(x))↑↑1h)=limh0((f(x+h)1f(x))↑↑1h)
を設定し、所期の「何乗されているか」をみることができるかを検証する。

f(x)=xa=a↑↑xとして、
f3(x)=limh0(1h(f(x+h)1f(x)))=limh0(1h((x+ha)1xa))
limh0(((a↑↑(x+h))1a↑↑x)↑↑1h)

また
f(x)=eddxlnf(x)=e(ddxlnf(x))
と同様にαを定数として
f3(x)=α↑↑(ddxslogf(x))
とか
f3(x)=α↑↑(d (slogf(x))dx)
あたりが成り立っていてほしい気がする。
αはいわば自然超対数の底だが、α=eっぽい?

一般化案

fn(x)=limh0((f(x+h)n21f(x))n11h)
ただし、n=2のとき
f2(x)=f(x)=limh0(f(x+h)f(x))1h
n=1のとき
f1(x)=f(x)=limh0f(x+h)f(x)h
としてハイパー演算的微分を定義できそう?

ハイパー演算anxの逆関数をsnloga xと表す(底がeのときは省略)ことにすると

fn(x)=en1(fn1(snlog x))
ただし、n=3のとき
f3(x)=e2(f2(slog x))
n=2のとき
f(x)=eddxlnf(x)=e(ddxlnf(x))
n=1のとき
f1(x)=f(x)=ddxf(x)

この予想に基づくと
f3(x)=e2(f2(slog x))=e↑↑(d (slog(f(x)))dx)
=e↑↑(eddxln(slog(f(x))))=e↑↑(eddx(ln(x))|x=slog(f(x))+ddx(slog(f(x))))
=e↑↑(eddx(ln(x))|x=slog(f(x))+ddx(slog(x))|x=f(x)+ddxf(x))
いま、
Andrew Robbinzによる超対数の冪級数展開式
slog(z)=1+n=1Snn!zn  (|z|<|±e|)
(101!1202!303!404!111!212!1313!414!121!222!323!1424!131!232!333!434!1)(S1S2S3S4)=(1000)
より
ddzslog(z)=n=1nSnn!zn1=n=1Sn(n1)!zn1
だから
e↑↑(exp[ddx(ln(x))|x=slog(f(x))+ddx(slog(x))|x=f(x)+ddxf(x)])
=e↑↑(exp[1slog(f(x))+n=1Sn(n1)!(f(x))n1+ddxf(x)])
f(x)=xe=e↑↑xのとき、
=e↑↑(exp[1slog(xe)+n=1Sn(n1)!(xe)n1+ddxxe])
=e↑↑(exp[1x+n=1Sn(n1)!(xe)n1+ddxxe])
ここで既知の結果による

ddxnx=1xk=1n(lnx)k1j=nknjx
をもって、
あ、いや、これddx(nx)じゃん
今欲しいのはddx(xe) だわ しらね~~~~

LOSE

参考文献

投稿日:2024724
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ぬるのぬ

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