漸化式の問題

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今巷で話題の漸化式です．解いてみてくださいね．

$m$を$2$以上の正の整数とし，$m$以下の正の整数$k$に対し数列$\lbrace b_m(k) \rbrace$を漸化式

$$ b_m(m)=1\ ,\ b_m(k)=-\sum_{i=0}^{m -k -1} {}_{2m -2i -1}\mathrm{C}_{m -k -i}\ b_m(m -i)\ \ \ (k\leq m -1) $$

で定め，さらに数列$\lbrace a_m(n) \rbrace$を漸化式

$$ a_m(0)=a\ ,\ a_m(n +1)=\sum_{i=1}^m b_m(i)a_m(n)^{2i -1} $$

で定める．数列$\lbrace a_m(n) \rbrace$の一般項を求めよ．

察しの良い人にとってはほとんど答えになってしまいますが，
$m=2$の場合で漸化式を出してみましょう．$k=1,2$なので，

$$ b_2(2)=1\ ,\ b_2(1)=-\sum_{i=0}^{2 -1 -1} {}_{4 -2i -1}\mathrm{C}_{2 -1 -i}\ b_2(2 -i)=-{}_{3}\mathrm{C}_{1}\ b_2(2)=-3 $$

となるため，数列$\lbrace a_2(n) \rbrace$の漸化式は

$$ a_2(0)=a\ ,\ a_2(n +1)=\sum_{i=1}^2 b_2(i)a_2(n)^{2i -1}=a_2(n)^3 -3a_2(n) $$

となります．

投稿日：2023年10月14日

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約数関数、数列関係の記事を中心に書いていきます。記事の内容に間違いがあれば教えてくれるとありがたいです。

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