漸化式の問題

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今巷で話題の漸化式です．解いてみてくださいね．

$m$ を $2$ 以上の正の整数とし， $m$ 以下の正の整数 $k$ に対し数列 ${b_{m} (k)}$ を漸化式

$b_{m} (m) = 1, b_{m} (k) = - \sum_{i = 0}^{m - k - 1}_{2 m - 2 i - 1} C_{m - k - i} b_{m} (m - i) (k \leq m - 1)$

で定め，さらに数列 ${a_{m} (n)}$ を漸化式

$a_{m} (0) = a, a_{m} (n + 1) = \sum_{i = 1}^{m} b_{m} (i) a_{m} (n)^{2 i - 1}$

で定める．数列 ${a_{m} (n)}$ の一般項を求めよ．

察しの良い人にとってはほとんど答えになってしまいますが，
$m = 2$ の場合で漸化式を出してみましょう． $k = 1, 2$ なので，

$b_{2} (2) = 1, b_{2} (1) = - \sum_{i = 0}^{2 - 1 - 1}_{4 - 2 i - 1} C_{2 - 1 - i} b_{2} (2 - i) = -_{3} C_{1} b_{2} (2) = - 3$

となるため，数列 ${a_{2} (n)}$ の漸化式は

$a_{2} (0) = a, a_{2} (n + 1) = \sum_{i = 1}^{2} b_{2} (i) a_{2} (n)^{2 i - 1} = a_{2} (n)^{3} - 3 a_{2} (n)$

となります．

投稿日：2023年10月14日

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約数関数、数列関係の記事を中心に書いていきます。記事の内容に間違いがあれば教えてくれるとありがたいです。

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