JMO2024予選6を詳しく解説(for beginners)

こんにちは．今回は，初心者向けにJMO2024予選6の解説をしたいと思います．幾何を解くうえで大事なテクニックが凝縮されている問題なので，解いてない人は一度自力で挑戦してみましょう．

さて解説です．

図を書く

　まずは，ざっくりでいいので図を書いてみましょう．めちゃくちゃ正確な図は書かなくていいです(書けるに越したことはないですが，難しいことも多いです)．
$fig.1$(図作るのむずかしい...)

考察

　図が書けたら，問題の考察に入ります．ぱっと見接するという条件がだいぶ奇妙です．そして見えることがあまりないです．私も試験本番は，初手が見えずにかなり焦っていました．さて，困ったしまったので，ここで原則に戻ってみます．

鉄則$1$.相似，共円を探せ

　ということで，相似や共円を探してみましょう．$\mathrm{\angle }ABC=\mathrm{\angle }ACB=\theta$とおいて，angle-chase(角度追跡)をしてみます．接するという条件を使わないといけなさそうです．問題文より，直線$AB$が点$B$で$\omega$に接することがわかるので，接弦定理(もしくは，$\mathrm{△}ABE$と$\mathrm{△}AFB$の相似)より$\mathrm{\angle }AFB=\theta$となります．よって，円周角の定理の逆より，$4$点$A,B,F,C$は共円(同一円周上)であるとわかります．これはとても大きな進捗です．$4$点$A,B,F,C$が共円であるということは，$\mathrm{△}ABE$と$\mathrm{△}CFE$は相似です．その相似比は，$AB:CF=1:2$となります．よって，$EB:EF=EA:EC=1:2$となります．だいぶ長さの関係がわかってきました．あとは，$EB$と$EC$の関係がわかればよさそうです．しかし，このまま考えていてもなかなか見えません．何か使っていない条件はないでしょうか？そうです．$\omega$と三角形$ADE$の外接円が接する条件を使っていません．これを考えてみましょう．ここで，$2$つ目の鉄則．

鉄則$2$.$2$円が接するときは，接点における共通接線を考えよ．

　点$E$における接線$l$を引いてみましょう．$l$と直線$AB$の交点を$T$とおきます．すると，$TB,TE$はともに$\omega$への接線となっているので，$TB=TE(=x)$となります．さらに，$\mathrm{△}ADE$の外接円に方べきの定理を使うことができそうです．使ってみると，
$$T{E}^2=TD\cdot TA$$
となるので，
$$x^2=(2-x)(5-x)$$
が成り立ちます．よって，$x={\displaystyle \frac{10}{7}}$となります．いい感じですね．
　ここで，$TB=TE$であったことを思い出しましょう．つまり，$\mathrm{△}TBE$は二等辺三角形です．なので，$\mathrm{△}TBE$と$\mathrm{△}ABC$は相似です．ここまでくれば$EB$と$EC$の関係がわかります．$BE:BC=BT:BA={\displaystyle \frac{10}{7}}:5=2:7$より，$EB:EC=2:5$がわかりました．
　あともう一息です．ここまでで得た結論をまとめてみましょう．

1. $4$点$A,B,C,F$は共円．
2. $EB:EF=EA:EC=1:2$
3. $EB:EC=2:5$
   　2と3より，$EB=4x$とおくと，$EF=8x,EC=10x,EA=5x$となります．さらに，$\mathrm{△}BFE$と$\mathrm{△}ACE$は相似なので，$BF=AC\times {\displaystyle \frac{4}{5}}=4$となります．これで，登場するすべての線分の長さを表すことができました．あとは，$x$を求めれば勝利です．最後に，共円と長さを結びつけるあの定理を使います．

　これより，以下の式が成り立ちます．
$$AC\cdot BF+AB\cdot CF=AF\cdot BC$$
　長さを代入すると，
$$5\cdot 4+5\cdot 10=13x\cdot 14x$$
　よって，$x={\displaystyle \frac{\sqrt{65}}{13}}$を得ます．求めるべきは$BC=14x$なので，答えは${\displaystyle \frac{14\sqrt{65}}{13}}$です．

$fig.2$

まとめ

　かなり詳しめに解説をしましたが，どうだったでしょうか．詰まったら共円を疑う．円が接しているときは接線を考える．などの考え方は非常に重要です．また，OMCやJMOのような求値問題では，長さを扱う公式であるトレミーの定理は必須知識と言っていいでしょう．知らなかった方はぜひ覚えてみてください．
　また，今後も初心者向けに，詳しい解説を出していこうと考えています．一定層は幾何を敬遠しがちという話を聞いたことがありますが，少なくともJMOレベルであれば，原則をしっかり理解できていれば解けることが多いです．頑張ってください．