Clebsch-Gordan分解とClebsch-Gordan係数

この記事は所属サークルWathematicaの Advent Calendar (の裏企画)の1つとして書いています．

はじめに

表現論を一度でも勉強したことがある人であればClebsch-Gordan分解というのを見たことがあると思います．一方で，量子力学ではClebsch-Gordan係数というのが出てきます．自分の研究でClebsch-Gordan係数が必要になったのですが，検索すると物理での説明しか出てこず，角運動量が云々とばかり書いてあって理解するのに非常に苦労しました．
この記事では数学徒向けにClebsch-Gordan係数に関する説明をまとめておきます．

Clebsch-Gordan分解

Clebsch-Gordan分解は$\SU(2)$のテンソル積表現の既約分解に関する定理です．$\SU(2)$の既約表現は各次元に1つずつあります．そこで$j \in \frac12\Z_{\geq 0} = \{0, \frac12, 1, \frac32, \ldots\}$に対して$(2j+1)$次元既約表現を$(\rho_j, V(j))$と表しましょう．(この表現$V(j)$をスピン$j$表現といいます．)全ての有限次元表現は既約表現の直和の形に分解できるので，2つの既約表現のテンソル積表現$V(a) \otimes V(b)$も直和の形に分解できるはずです．これを与える公式がClebsch-Gordan分解で
$$ V(a) \otimes V(b) \cong V(a+b) \oplus V(a+b-1) \oplus \cdots \oplus V(|a-b|) $$
です．この分解公式は通常，指標を用いて証明されます．つまりこの同型は具体的に与えられているわけではないのです．そこで，各既約成分が$V(a) \otimes V(b)$の部分空間として具体的にどのように実現されているかが気になります．別の言い方をすれば，各既約成分の具体的な埋め込み$V(k) \hookrightarrow V(a) \otimes V(b)$がどのように与えられるのかが気になるわけです．これを教えてくれるのがClebsch-Gordan係数です．

表記について

次節以降の計算からもわかる通り，実際に計算する際には$\sl$の表現として計算します．$\sl$の表現と思う場合には$\Z_{\geq 0}$で既約表現をラベル付けするのが標準的ですが，ここでは$\frac12\Z_{\geq 0}$でラベル付けしています．これは物理での表記と合わせるためですが，数学的には$\mathfrak{so}(3, \C)$の表現として分類していることに対応しています．
$\SU(2)$は$\SO(3)$の単連結な被覆空間(普遍被覆)で，2重被覆$\SU(2) \to \SO(3)$があります．したがってリー代数は同型$\su(2) \cong \mathfrak{so}(3)$です．単連結性から$\su(2)$の表現は"積分"して$\SU(2)$の表現と対応しますが，$\SO(3)$の表現にできるかは表現に依ります．$j$が整数のときは$V(j)$は$\SO(3)$の表現にできますが，半整数のときはできません．
物理的には回転の一般化としてスピンを導入したいために，$\sl$ではなく$\mathfrak{so}(3, \C)$の表現として捉えているのだと勝手に理解しています．

$\SU(2)$の表現論

基本事項の復習

Clebsch-Gordan係数の説明をする前に，$\SU(2)$の表現について簡単に述べます．どの表現論の教科書にも書いてある基本的なことです．

$\SU(2)$は単連結なので，$\SU(2)$の表現はそのリー代数である$\su(2)$の表現と1:1に対応しています．そして$\su(2)$の表現はその複素化である$\sl$の表現と1:1に対応しています．
$$ \{\SU(2)\text{の表現}\} \stackrel{1:1}{\longleftrightarrow} \{\su(2)\text{の表現}\} \stackrel{1:1}{\longleftrightarrow} \{\sl\text{の表現}\} $$
そこで$\sl$の表現を考えれば良いです．
$$ \sl = \left\{\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & -a \end{array} \right) \end{eqnarray} \,\,\middle|\,\, a,b,c \in \C \right\} $$
なので，基底として
$$ E = \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \end{eqnarray} $$
$$ H = \frac12\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right) \end{eqnarray} $$
$$ F = \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \end{eqnarray} $$
が取れて，これは関係式
$$ [H, E] = E, \quad [H, F] = -F,\quad [E, F] = 2H $$
を満たします．

上の交換関係から次のことがわかります．

特に既約表現は最大固有値の固有ベクトルに$\rho_j(F)$をかけていくことで生成されます．この性質がClebsch-Gordan係数を求める際の鍵となります．
以下では，単に固有値といった場合には$\rho(H)$の固有値を指すこととします．

テンソル積表現の構造

$\rho_j(H)$の固有値$m$の固有空間を$V(j)_m$と表すことにしましょう．定理1により固有空間分解
$$ V(j) = V(j)_j \oplus V(j)_{j-1} \oplus \cdots \oplus V(j)_{-(j-1)} \oplus V(j)_{-j} $$
があります．2つの既約表現$V(j_1), V(j_2)$に対して，そのテンソル積表現$(\rho, V(j_1) \otimes V(j_2))$を考えます．物理の記法に倣って$|j_1, m_1\rangle \in V(j_1), |j_2, m_2\rangle \in V(j_2)$を固有値$m_1, m_2$の固有ベクトルとすると

\begin{eqnarray} \rho(H) (|j_1, m_1\rangle \otimes |j_2, m_2\rangle) &=& (\rho_{j_1}(H)|j_1, m_1\rangle) \otimes (\rho_{j_2}(H)|j_2, m_2\rangle)\\ &=& (m_1+m_2)|j_1, m_1\rangle \otimes |j_2, m_2\rangle \end{eqnarray}
なので，$|j_1, m_1\rangle \otimes |j_2, m_2\rangle$は固有値$m_1 + m_2$の固有ベクトルです．空間で表せば
$$ (V(j_1) \otimes V(j_2))_M = \bigoplus_{m_1 + m_2 = M} V(j_1)_{m_1} \otimes V(j_2)_{m_2} $$
というわけです．

$E,F$の作用

先の計算での$|j,m\rangle \in V(j)_m$は単に固有ベクトルとしていましたが，Clebsch-Gordan係数を計算するには固有ベクトルに対する$E,F$の具体的な作用の仕方を求めておく必要があります．

$H$の作用は定義から明らかですが一応書いておきました．$E,F$の作用によって固有値が$\pm 1$されていることに注意してください．以降で$|j,m\rangle$と書いたら，命題の性質を満たすものだと思ってください．

Clebsch-Gordan係数

まず最も簡単な例から見てみましょう．

$V(\tfrac12) \otimes V(\tfrac12)$

Clebsch-Gordan分解の公式から$V(\tfrac12) \otimes V(\tfrac12) \cong V(1) \oplus V(0)$となることはわかっています．知りたいのは，この$V(1)$や$V(0)$が$V(\tfrac12) \otimes V(\tfrac12)$の中で具体的にどのように構成されているのかです．
まず$V(1)$について考えましょう．$V(1)$の最大固有値は$1$です．$V(\tfrac12) \otimes V(\tfrac12)$の中で固有値$1$の固有ベクトルは(定数倍を除いて)$|\tfrac12, \tfrac12\rangle \otimes |\tfrac12, \tfrac12\rangle$しかありません．したがって，テンソル積空間内での実現としては$V(1)_{1} = \C\,|\tfrac12, \tfrac12\rangle \otimes |\tfrac12, \tfrac12\rangle$です．$V(1)_0$はこれに$F$を作用させることで得られるはずです．命題3を用いて計算すると
$$ \rho(F)(|\tfrac12, \tfrac12\rangle \otimes |\tfrac12, \tfrac12\rangle) = |\tfrac12, -\tfrac12\rangle \otimes |\tfrac12, \tfrac12\rangle + |\tfrac12, \tfrac12\rangle \otimes |\tfrac12, -\tfrac12\rangle $$
となるので
$$ V(1)_0 = \C \left(|\tfrac12, -\tfrac12\rangle \otimes |\tfrac12, \tfrac12\rangle + |\tfrac12, \tfrac12\rangle \otimes |\tfrac12, -\tfrac12\rangle\right) $$
です．また
$$ \rho(F)^2|\tfrac12, \tfrac12\rangle \otimes |\tfrac12, \tfrac12\rangle = 2\,|\tfrac12, -\tfrac12\rangle \otimes |\tfrac12, -\tfrac12\rangle $$
なので
$$ V(1)_{-1} = \C\, |\tfrac12, -\tfrac12\rangle \otimes |\tfrac12, -\tfrac12\rangle $$
とわかります．ちなみに$V(\tfrac12) \otimes V(\tfrac12)$の中で固有値$-1$の固有ベクトルは(定数倍を除いて)$|\tfrac12, -\tfrac12\rangle \otimes |\tfrac12, -\tfrac12\rangle$しかないので$V(1)_{-1}$を求めるだけであれば$\rho(F)^2$を計算せずとも当たり前ですが，位相まで考慮する必要があるので，ここでは$\rho(F)^2$を計算する必要があります(前節の注を参照)．

$V(\tfrac12) \otimes V(\tfrac12)$内での$V(1)$の3つの固有ベクトルを$|1,1\rangle, |1,0\rangle, |1,-1\rangle$と表すことにします．$|1,1\rangle := |\tfrac12, \tfrac12\rangle \otimes |\tfrac12, \tfrac12\rangle$(これはノルム$1$)とすると，$\rho(F)|\tfrac12, \tfrac12\rangle \otimes |\tfrac12, \tfrac12\rangle$，$ \rho(F)^2|\tfrac12,\tfrac12\rangle \otimes |\tfrac12, \tfrac12\rangle$を正規化することで
\begin{eqnarray} &&|1, 0\rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2}}\left|\tfrac12, \tfrac12\right\rangle \otimes |\tfrac12, -\tfrac12\rangle + \tfrac{1}{\sqrt{2}}\left|\tfrac12, -\tfrac12\right\rangle \otimes |\tfrac12, \tfrac12\rangle\\ &&|1, -1\rangle = |\tfrac12, -\tfrac12\rangle \otimes |\tfrac12, -\tfrac12\rangle \end{eqnarray}
となります．これで$V(1)$がわかりました．
次に$V(0)$を求めましょう．$V(0)$の最大固有値は$0$で$V(\tfrac12) \otimes V(\tfrac12)$の固有値$0$の固有空間は2次元分あります．ただその2次元のうち1次元は$V(1)_0$なので，残りの1次元が$V(0)_0$です．$V(1)_0$と$V(0)_0$は直交しているので，さっきの$|1,0\rangle$と直交しているベクトルを探せば良く，
\begin{eqnarray} |0, 0\rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2}}\left|\tfrac12, \tfrac12\right\rangle \otimes |\tfrac12, -\tfrac12\rangle - \tfrac{1}{\sqrt{2}}\left|\tfrac12, -\tfrac12\right\rangle \otimes |\tfrac12, \tfrac12\rangle \end{eqnarray}
とわかります．

以上の結果をまとめると
\begin{eqnarray} &&|1,1\rangle = |\tfrac12, \tfrac12\rangle \otimes |\tfrac12, \tfrac12\rangle\\ V(1) \hspace{10pt}&&|1, 0\rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2}}\left|\tfrac12, \tfrac12\right\rangle \otimes |\tfrac12, -\tfrac12\rangle + \tfrac{1}{\sqrt{2}}\left|\tfrac12, -\tfrac12\right\rangle \otimes |\tfrac12, \tfrac12\rangle\\ &&|1, -1\rangle = |\tfrac12, -\tfrac12\rangle \otimes |\tfrac12, -\tfrac12\rangle\\ \\ V(0) \hspace{10pt}&&|0, 0\rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2}}\left|\tfrac12, \tfrac12\right\rangle \otimes |\tfrac12, -\tfrac12\rangle - \tfrac{1}{\sqrt{2}}\left|\tfrac12, -\tfrac12\right\rangle \otimes |\tfrac12, \tfrac12\rangle \end{eqnarray}
です．ここに出てきた$1, \pm\tfrac{1}{\sqrt{2}}$などの係数をClebsch-Gordan係数といいます．

$V(1) \otimes V(\tfrac12)$

Clebsch-Gordan分解の公式から$V(1) \otimes V(\tfrac12) \cong V(\tfrac32) \oplus V(\tfrac12)$です．
まず$V(\tfrac32)$について考えます．最大固有値は$\tfrac32$で，その固有ベクトルは$|1, 1\rangle \otimes |\tfrac12, \tfrac12\rangle$です．さっきと同様に命題3を使って計算していくと
\begin{eqnarray} \rho(F)|1, 1\rangle \otimes |\tfrac12, \tfrac12\rangle &=& \sqrt{2}|1, 0\rangle \otimes |\tfrac12, \tfrac12\rangle + |1, 1\rangle \otimes |\tfrac12, -\tfrac12\rangle\\ \rho(F)^2|1, 1\rangle \otimes |\tfrac12, \tfrac12\rangle &=& 2|1,-1\rangle \otimes |\tfrac12, \tfrac12\rangle + 2\sqrt{2}|1,0\rangle \otimes |\tfrac12, -\tfrac12\rangle\\ \rho(F)^3|1, 1\rangle \otimes |\tfrac12, \tfrac12\rangle &=& 6|1, -1\rangle \otimes |\tfrac12, -\tfrac12\rangle \end{eqnarray}
となります．よって
\begin{eqnarray} &&|\tfrac32, \tfrac12\rangle = \sqrt{\tfrac13}|1, 1\rangle \otimes |\tfrac12, -\tfrac12\rangle + \sqrt{\tfrac23}|1, 0\rangle \otimes |\tfrac12, \tfrac12\rangle\\ &&|\tfrac32, -\tfrac12\rangle = \sqrt{\tfrac23}|1,0\rangle \otimes |\tfrac12, -\tfrac12\rangle + \sqrt{\tfrac13}|1,-1\rangle \otimes |\tfrac12, \tfrac12\rangle\\ &&|\tfrac32, -\tfrac32\rangle = |1, -1\rangle \otimes |\tfrac12, -\tfrac12\rangle \end{eqnarray}
となります．
次に$V(\tfrac12)$についてです．さっきと同じで固有値$\tfrac12$の固有空間は2次元ありますが，そのうちの1次元分は$V(\tfrac32)_{\tfrac12}$で，残りの1次元が$V(\tfrac12)_{\tfrac12}$です．したがって$|\tfrac32, \tfrac12\rangle$に直交する単位ベクトルを探せばよく，
$$ |\tfrac12, \tfrac12\rangle = \sqrt{\tfrac23}|1, 1\rangle \otimes |\tfrac12, -\tfrac12\rangle - \sqrt{\tfrac13}|1, 0\rangle \otimes |\tfrac12, \tfrac12\rangle $$
とわかります．またこれより
$$ \rho(F)|\tfrac12, \tfrac12\rangle = \sqrt{\tfrac13}|1, 0\rangle \otimes |\tfrac12, -\tfrac12\rangle -\sqrt{\tfrac23}|1, -1\rangle \otimes |\tfrac12, \tfrac12\rangle $$
となります．これはすでに正規化されており，先ほどの位相の規約も満たしているので
$$ |\tfrac12, -\tfrac12\rangle = \sqrt{\tfrac13}|1, 0\rangle \otimes |\tfrac12, -\tfrac12\rangle -\sqrt{\tfrac23}|1, -1\rangle \otimes |\tfrac12, \tfrac12\rangle $$
です．
以上の結果をまとめると
\begin{eqnarray} &&|\tfrac32, \tfrac32\rangle = |1, 1\rangle \otimes |\tfrac12, \tfrac12\rangle\\ &&|\tfrac32, \tfrac12\rangle = \sqrt{\tfrac13}|1, 1\rangle \otimes |\tfrac12, -\tfrac12\rangle + \sqrt{\tfrac23}|1, 0\rangle \otimes |\tfrac12, \tfrac12\rangle\\ &&|\tfrac32, -\tfrac12\rangle = \sqrt{\tfrac23}|1,0\rangle \otimes |\tfrac12, -\tfrac12\rangle + \sqrt{\tfrac13}|1,-1\rangle \otimes |\tfrac12, \tfrac12\rangle\\ &&|\tfrac32, -\tfrac32\rangle = |1, -1\rangle \otimes |\tfrac12, -\tfrac12\rangle\\ \\ &&|\tfrac12, \tfrac12\rangle = \sqrt{\tfrac23}|1, 1\rangle \otimes |\tfrac12, -\tfrac12\rangle - \sqrt{\tfrac13}|1, 0\rangle \otimes |\tfrac12, \tfrac12\rangle\\ &&|\tfrac12, -\tfrac12\rangle = \sqrt{\tfrac13}|1, 0\rangle \otimes |\tfrac12, -\tfrac12\rangle -\sqrt{\tfrac23}|1, -1\rangle \otimes |\tfrac12, \tfrac12\rangle \end{eqnarray}
です．

一般の場合

一般の$V(j_1) \otimes V(j_2)$に対しても同様の手続きで
\begin{eqnarray} |J,M&&\rangle = \sum_{m_1, m_2} C_{JM}^{j_1j_2m_1m_2} |j_1, m_1\rangle \otimes |j_2, m_2\rangle\\ &&J = j_1 + j_2, \ldots, |j_1 - j_2|\\ &&M = J, \ldots, -J \end{eqnarray}
なる係数$C_{JM}^{j_1j_2m_1m_2}$を計算することができます．この$C_{JM}^{j_1j_2m_1m_2}$がClebsch-Gordan係数です．ただ$j_1, j_2$が大きい場合，愚直に計算するのはかなり大変です．コンピュータを用いたり対称性を用いて計算した表がいろいろなところで公開されているので，参考にするのが良いでしょう．
例えば表は Nakamura, Kenzo; et al. (2010). "Review of Particle Physics: Clebsch-Gordan coefficients, spherical harmonics, and d functions" など． Wolfram alpha で計算することもできます．公式は 濱口幸一先生の資料 など．