自然数についての床関数の等式

$(1)$の証明
$$(\sqrt{n},0)+ (\sqrt{n},1)=(2\sqrt{n},1)$$
３つのベクトルは三角形の３辺になる．
「三角不等式」から，
$$\sqrt{(2\sqrt{n})^2+1}=\sqrt{4n+1} \lt \sqrt{n}+\sqrt{n+1} $$
ここで，ある自然数$m$が存在して，
$$\sqrt{4n+1} \lt m \leqq \sqrt{n}+\sqrt{n+1} $$
が成り立つとき，等式が成り立たないことになります．
逆に，そのような自然数$m$が存在しないなら，等式が成り立つことになります．
存在するとして，「背理法」で示します．
$$(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^2=2n+1+2\sqrt{n(n+1)}$$
いま，
$$2\sqrt{n(n+1)}=2\sqrt{(n+ \frac{1}{2} )^2- \frac{1}{4} } \lt 2n+1$$
なので，
$$4n+1\lt m^2 \lt 4n+2$$
これは，不合理．したがって，このような自然数$m$は存在しない．
以上から，
$$(1) [ \sqrt{n}+ \sqrt{n+1}]=[\sqrt{4n+1}]$$
は成り立つ．□□
$(2)$の証明$(1)$と同様に，
$$(\sqrt{n},0)+ (\sqrt{n},1)+ (\sqrt{n},2)=(3\sqrt{n},3)$$
$$\sqrt{9n+8} \lt\sqrt{9n+9}=\sqrt{(3\sqrt{n})^2+3^2}$$
$$\sqrt{9n+8} \lt\sqrt{n}+ \sqrt{n+1}+ \sqrt{n+2}$$
ここで，ある自然数$m$が存在して，
$$\sqrt{9n+8} \lt m \leqq \sqrt{n}+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2} $$
が成り立つと仮定します．
$$(\sqrt{n}+ \sqrt{n+1}+ \sqrt{n+2})^2=3n+3+2(\sqrt{n} \sqrt{n+1}+ \sqrt{n}\sqrt{n+2}+ \sqrt{n+1}\sqrt{n+2})$$
$$2\sqrt{n(n+1)}=2\sqrt{(n+ \frac{1}{2} )^2- \frac{1}{4} } \lt 2n+1$$
$$2\sqrt{n(n+2)}=2\sqrt{(n+ 1)^2-1} \lt 2n+2$$
$$2\sqrt{(n+1)(n+2)}=2\sqrt{(n+ \frac{3}{2} )^2- \frac{1}{4} } \lt 2n+3$$
これらから，

$$9n+8\lt m^2 \lt 9n+9$$
これは，不合理．したがって，このような自然数$m$は存在しない．
以上から，
$$(2) [ \sqrt{n}+ \sqrt{n+1}+ \sqrt{n+2}]=[\sqrt{9n+8}]$$
も成り立つ．□□

$(1)(2)(4)$をまとめて証明する．

［(1)(2)(4)の証明］
$N$を2以上の自然数とする．
$$x _{j}=( \sqrt{n},j )$$ $$ (0 \leqq j\leqq N-1)$$
$$\left| x _{j} \right|= \sqrt{n+j} $$
$$y= \sum_{i=0}^{N-1} x _{j}=(N \sqrt{n} , \frac{N(N-1)}{2} ),\left| x _{j} \right|^2=N^2n+( \frac{N(N-1)}{2})^2 $$
として，$x _{j}$はどれも互いに平行ではないので，
$$\left| y \right|< \sum_{i=0}^{N-1} \left| x _{j} \right| $$
$$\left| z \right|^2=N^2n+c_{N} $$
として，$$c_{2}=1 , c_{3}=8 ,c_{4}=20 ,c_{5}=49$$
としておく．
$$c_{N} \leqq ( \frac{N(N-1)}{2})^2 $$
がいえる．$\left| z \right| \leqq \left| y \right| $から，
　証明すべき式は，
$$[\sum_{i=0}^{N-1} \left| x _{j} \right|]=[\left| z\right|]$$
となる．
$0\leqq j< k \leqq N-1$のとき，
$$\left| x _{j} \right|\left| x _{k} \right|< n+ \frac{j+k}{2} $$
$$\sum_{j< k}\left| x _{j} \right|\left| x _{k} \right|< \frac{N(N-1)}{2} n+ \frac{N(N-1)^2}{4} $$
$$y= \sum_{i=0}^{N-1} \left| x _{j} \right|^2=Nn+\frac{N(N-1)}{2} $$
$$\left| z \right|^2 \leqq \left| y \right|^2<(\sum_{i=0}^{N-1} \left| x _{j} \right|) ^2< N^2n+\frac{N^2(N-1)}{2} $$
$$d_{N}=\frac{N^2(N-1)}{2}$$
とおくと，
$$d_{2}=2 , d_{3}=9 ,d_{4}=24 ,d_{5}=50$$
　適当な自然数$m$が存在して，
$$ \sqrt{N^2n+c_{N}}< m< \sqrt{N^2n+d_{N}}$$
が成り立つとき，等式は成り立たない．
　ここで，$N=2,3,5$のとき，$d_{N}=c_{N}+1$なので，
$$ N^2n+c_{N}< m^2< N^2n+d_{N}$$
となって，そのような$m$は存在しない．
よって，等式$(1)(2)(4)$は成り立つ．証明された．□□

［(3)の証明］
$N=4$のとき，上の途中までで，
$$ 16n+20< m^2<16n+24$$
mod.16で考えると，不等式から，$m^2 \equiv 5,6,7$に限る．
$l=0,1,2,3,4,5,6,7,8$で，
$l^2 \equiv 0,1,4,9$で剰余が一致しない．
したがって，不等式をみたす$m$は存在しない．
よって，等式(3)も成り立つ．□□