・表記の簡略化のため恒等的に等式が成り立つときで表す。また、そのときの変数はのみとする。
・議論が間違っている可能性がある。
・まだ問題として不備があり未完成な状態である。
問題
をとなる関数全体の集合とする。である写像であって以下のつの条件を満たすものを全て求めよ。
・任意の において
・任意のにおいて
関数が要素の関数方程式作ってみました。
・とあるがこれはという定数関数の入力に対してという出力であるの意味である。
・基本的にに具体的な値を入れて比べるということが出来ない。例えばが成り立つ可能性もある。上の例にを代入したらになって矛盾みたいな議論はできない。なぜならは関数から関数の写像であるからである。
解法
先に解を言うとのみ。十分性は明らか。他にないことを示す。への代入を,への代入をと定める。
から定数においてはすぐに分かる。に対して
と定める。
であるからそれを用いると から
となる。
を示す。
は恒等的に非負であることに注意する。から
となるが
ならばはにおいて負の値を取るので矛盾。よって
と仮定する。そのときである。
を用いての操作を繰り返すことでが分かる。
に注意する。から
これはにおいてが負となるので矛盾。よって、補題を得る。
であるから
から
とするととなる。はの範囲で任意にとれるのでが成り立つ。
結論・感想
もしかしたらもっといい解法がありそうだし、条件減らしても解けそうな気がする。あと表記がややこしい。がという定数関数の代入なのか関数におけるの代入なのかが分からない、、。色々改める必要がありそう。
改善案や類題などコメントしてくれるとありがたいです。