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関数に対して定義され関数をとる関数方程式

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・表記の簡略化のため恒等的に等式が成り立つときで表す。また、そのときの変数はnのみとする。
・議論が間違っている可能性がある。
・まだ問題として不備があり未完成な状態である。

問題

Sf:Z0Z0となる関数f全体の集合とする。F:SSである写像Fであって以下の4つの条件を満たすものを全て求めよ。
F(1)1
F(n)n
・任意のf,gS において F(f(n)+g(n))F(f(n))+F(g(n))(i)
・任意のf,gSにおいて F(f(n)g(n))F(f(n))F(g(n))(ii)

関数が要素の関数方程式作ってみました。

F(1)1とあるがこれはf(n)1という定数関数の入力に対してf(n)1という出力であるの意味である。
・基本的にnに具体的な値を入れて比べるということが出来ない。例えばF(2n)n,F(3n)n+2が成り立つ可能性もある。上の例にn=0を代入したらF(1)=0=2になって矛盾みたいな議論はできない。なぜならFは関数から関数の写像であるからである。

解法

先に解を言うとF(f(n))f(n)fSのみ。十分性は明らか。他にないことを示す。(i)への代入をP(f,g),(ii)への代入をQ(f,g)と定める。
(i)から定数cにおいてF(c)cはすぐに分かる。kZ0に対して
ak(n)={0nk1n=k と定める。

F(ak(n))ak(n)

nak(n)kak(n)であるからそれを用いるとQ(n,ak(n)),Q(k,ak(n)) から
nF(ak(n))kF(ak(n))F(ak(n))={0nkcn=kとなる。
c=1を示す。
1ak(n)は恒等的に非負であることに注意する。P(1ak(n),ak(n))から
1F(1ak(n))+F(ak(n))となるが
c>1ならばF(1ak(n))n=kにおいて負の値を取るので矛盾。よってc1
c=0と仮定する。そのときF(ak(n))0である。
F(1)1,F(n)nを用いて(i),(ii)の操作を繰り返すことでF((nk)2)(nk)2が分かる。
(nk)2+ak(n)1に注意する。P((nk)2,ak(n)),P((nk)2+ak(n)1,1)から
(nk)2+F(ak(n))F((nk)2+ak(n))F((nk)2+ak(n)1)+1 F((nk)2+ak(n)1)(nk)21
これはn=kにおいてF((nk)2+ak(n)1)が負となるので矛盾。よってc=1、補題を得る。

F(f(n))f(n)fS

f(n)ak(n)f(k)ak(n)であるから
Q(f(n),ak(n)),Q(f(k),ak(n))から
F(f(n))ak(n)f(k)ak(n)
F(f(n))h(n)とするとh(k)=f(k)となる。kZ0の範囲で任意にとれるのでh(n)f(n)F(f(n))f(n)が成り立つ。

結論・感想

 もしかしたらもっといい解法がありそうだし、条件減らしても解けそうな気がする。あと表記がややこしい。F(f(k))f(k)という定数関数の代入なのか関数F(f(n))におけるn=kの代入なのかが分からない、、。色々改める必要がありそう。
 改善案や類題などコメントしてくれるとありがたいです。

投稿日:20241018
更新日:20241018
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