やな変換入門１

連分数,趣味,やな変換

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やな変換と連分数

この記事では、僕が偶々連分数で遊んでいたときに発見した任意の有理数 $\frac{q}{p}$ から(非正規)連分数を作成する方法について書いていこうと思います。

やな変換

$\frac{q}{p} \in Q$ とする。このとき、次の変換をやな変換という。
$\frac{q}{p} = \frac{q + x}{p + \frac{p x}{q}} (x \in Q)$

連分数の表示の仕方

以下次の事を約束します。任意の複素数 $a, b, c, d \in C$ に対して、
$\frac{a |}{| b} + \frac{c |}{| d} = \frac{a}{b + \frac{c}{d}}$
と定める。
これは、紙数の節約のためと煩雑になることを防ぐために導入した。
なお、この記法に関しては参考文献[1]の記号の使用法を参考にした。

やな変換の名前の由来

この"やな"って何？って思っていらっしゃる方も多いと思うので一応説明する
と僕は趣味でイラストを描いておりまして、そこにやなさんと呼ばれる自分の
分身がいましてこの子が発見したという設定で"やな変換"と呼んでいます。
まあ、もしかしたら正式名称があるかもしれないので、その場合は正式名称
で読んでくださると助かります。
また正式な名称ない場合は自分の好きな名前で呼んでも一向に差し支えないの
でそうしたい方は好き勝手に名前をつけてあげてください。

この記事は導入なのでゆーるく行きます！ただこの後に出す予定の記事ではやな変換で $e^{x} (x \in Q)$ が無理数であることなどを証明していきますのでぜひぜひお楽しみください！

1から作る連分数

例えば一般的な数列 ${a_{n}}_{n \in N}$ を用いて
$\begin{array}{r} \begin{array}{l} 1 = \frac{1}{1} \\ = \frac{1 + a_{1} |}{| 1} + \frac{a_{1} |}{| 1} \\ = \frac{1 + a_{1} |}{| 1} + \frac{a_{1} + a_{2} |}{| 1} + \frac{a_{2} |}{| a_{1}} \\ = \frac{1 + a_{1} |}{| 1} + \frac{a_{1} + a_{2} |}{| 1} + \frac{a_{2} + a_{3} |}{| a_{1}} + \frac{a_{1} a_{3} |}{| a_{2}} \\ = \dots \end{array} \end{array}$
の様にしてこのやな変換を知らない友人を驚かせることもできます。