三角関数の総和と応用
チャオです。
今回も短い記事だよ。
とりあえず、次の問題でも考えてみましょう。
次の級数を求めよ。
\begin{eqnarray}
\left \{
\begin{array}{l}
I_{N}\left(x\right)=\sum_{k=1}^{N}\cos{kx} \\
J_{N}\left(x\right)=\sum_{k=1}^{N}\sin{kx}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$\sin{\frac{1}{2}x}$を$I_{N}\left(x\right),J_{N}\left(x\right)$にかけて次の様な計算をすればよい。
\begin{eqnarray}
I_{N}\sin{\frac{1}{2}x}&=&\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{N}\{-\sin\left(k-\frac{1}{2}\right)x+\sin\left(k+\frac{1}{2}\right)x \} \\
&=&
\frac{1}{2}\{\sin{\left(N+\frac{2N+1}{2}\right)x-\sin{\frac{1}{2}x}}\} \\
&=&
\frac{1}{2}\{\sin{\left(\frac{N}{2}+\frac{N+1}{2}\right)x}-\sin{\left(-\frac{N}{2}+\frac{N+1}{2}\right)x}\} \\
&=&
\cos{\frac{N}{2}x}\sin{\frac{N+1}{2}x}
\end{eqnarray}
同様にして
\begin{eqnarray}
J_{N}\left(x\right)\sin{\frac{1}{2}x}=\sin{\frac{N}{2}x}\sin{\frac{N+1}{2}x}
\end{eqnarray}
以上より、
\begin{eqnarray}
\left \{
\begin{array}{l}
I_{N}(x)=\frac{\cos{\frac{N}{2}x}\sin{\frac{N+1}{2}x}}{\sin{\frac{1}{2}x}} \\
J_{N}(x)=\frac{\sin{\frac{N}{2}x}\sin{\frac{N+1}{2}x}}{\sin{\frac{1}{2}x}}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
では次に先の問題を応用してみよう。
$f(x)=\frac{1}{2}a_{0}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_{k}\cos{kx}+b_{k}\sin{kx}\right)$とかけるとき、次の総和を求める方法を考えよ。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
S_{N}=\sum_{k=0}^{N}a_{k} \\
T_{N}=\sum_{k=0}^{N}b_{k}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
もう分ると思うけど、次のような計算をすればよい。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
S_{N}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\{1+\frac{\cos{\frac{N}{2}x}\sin{\frac{N+1}{2}}x}{\sin{\frac{1}{2}x}}\}f(x)dx \\
T_{N}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\sin{\frac{N}{2}x}\sin{\frac{N+1}{2}}x}{\sin{\frac{1}{2}x}}f(x)dx
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
