三角関数の総和と応用

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チャオです。
今回も短い記事だよ。
とりあえず、次の問題でも考えてみましょう。

次の級数を求めよ。
$\begin{array}{r} {\begin{cases} I_{N} (x) = \sum_{k = 1}^{N} \cos k x \\ J_{N} (x) = \sum_{k = 1}^{N} \sin k x \end{cases} \end{array}$

$\sin \frac{1}{2} x$ を $I_{N} (x), J_{N} (x)$ にかけて次の様な計算をすればよい。
$\begin{array}{rcl} I_{N} \sin \frac{1}{2} x & = & \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{N} {- \sin (k - \frac{1}{2}) x + \sin (k + \frac{1}{2}) x} \\ = & \frac{1}{2} {\sin (N + \frac{2 N + 1}{2}) x - \sin \frac{1}{2} x} \\ = & \frac{1}{2} {\sin (\frac{N}{2} + \frac{N + 1}{2}) x - \sin (- \frac{N}{2} + \frac{N + 1}{2}) x} \\ = & \cos \frac{N}{2} x \sin \frac{N + 1}{2} x \end{array}$
同様にして
$\begin{array}{r} J_{N} (x) \sin \frac{1}{2} x = \sin \frac{N}{2} x \sin \frac{N + 1}{2} x \end{array}$
以上より、
$\begin{array}{r} {\begin{cases} I_{N} (x) = \frac{\cos \frac{N}{2} x \sin \frac{N + 1}{2} x}{\sin \frac{1}{2} x} \\ J_{N} (x) = \frac{\sin \frac{N}{2} x \sin \frac{N + 1}{2} x}{\sin \frac{1}{2} x} \end{cases} \end{array}$
では次に先の問題を応用してみよう。

$f (x) = \frac{1}{2} a_{0} + \sum_{k = 1}^{\infty} (a_{k} \cos k x + b_{k} \sin k x)$ とかけるとき、次の総和を求める方法を考えよ。
$\begin{array}{r} {\begin{cases} S_{N} = \sum_{k = 0}^{N} a_{k} \\ T_{N} = \sum_{k = 0}^{N} b_{k} \end{cases} \end{array}$

もう分ると思うけど、次のような計算をすればよい。
$\begin{array}{r} {\begin{cases} S_{N} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} {1 + \frac{\cos \frac{N}{2} x \sin \frac{N + 1}{2} x}{\sin \frac{1}{2} x}} f (x) d x \\ T_{N} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} \frac{\sin \frac{N}{2} x \sin \frac{N + 1}{2} x}{\sin \frac{1}{2} x} f (x) d x \end{cases} \end{array}$

投稿日：2024年3月16日

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投稿者

かじゅみ

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ただ趣味で数学をやっている普通の人です。特殊な知識もなくただ数学を楽しみたいenjoy勢です。正直間違った事も平気で書くかもしれません。僕の書いている記事で間違いを発見した時は遠慮なくご指摘してくださると助かります。

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