三角関数を使いこなすために②｜条件を読み、方法を選び、次へつなぐ

三角関数を使いこなすために②｜条件を読み、方法を選び、次へつなぐ

公式を知っていても、目の前の問題でどれを使うかは別の仕事です。
この回では、一つの問題を解く過程から判断を取り出し、見た目の違う問題で使い直します。
読むときは例題の解答を開く前に、求めるものと使える条件を一行ずつ書いてみてください。
「正接が欲しいから比だけを残す」「零点が欲しいから積を作る」のように、操作の目的を先に言葉にします。
方法の名前を覚えるのは、その後で構いません。
第1章から第4章は数学Ⅱの三角関数と既習の代数・平面図形で読めます。
数学Cや数学Ⅲは前提にしません。
第5章と第6章は追加の履修が必要な節を分けました。
同じ科目の数学Ⅱでも、微分積分は三角関数を学ぶ時点で未習のことがあるため、別に表示しています。
判断の根拠には二種類あります。置換の同値性や値域は数学的な条件です。
一方、合成の方が計算を短くしやすい、という比較は方法を選ぶ指針です。
合理的な方法が複数ある問題で、一本だけが論理的に強制されるとは考えません。

この記事で使う言葉

置換した量が実際に取る値の全体を、その置換の「像」と書くことがあります。単なる実数全体とは限りません。「枝」はグラフを増加・減少する範囲などへ分けた部分です。「極」は式が定義されず、その近くで値が限りなく大きくなる点です。約分後も値を持たない点が残るだけの場合は、穴と区別します。
式の中の$x,\theta$はその問題で動く変数、$a$などのパラメータはまず固定して考え、その後に値を変えて問題の変化を調べる文字です。$t=\sin\theta$の$t$は置換で導入した変数で、元の角の範囲に応じた像を渡します。座標を角から書く「パラメータ表示」は、角を動かして点を作る表示という意味です。同次式とは各項の次数が等しい式で、二次同次式なら$s^2,sc,c^2$を組み合わせた形です。初めて使う節で役割を確かめます。

解法を組み立てる練習の進め方

例題は、先に問題だけを読み、「欲しい情報」と「使える条件」を一行ずつ書きます。候補を一つ挙げたら、解答を開く前に、その操作で何が得られ、何が残るかを考えてください。例えば合成は振幅と位相を、正接への置換は比の方程式を出します。どちらも公式として正しく使えても、要求へ近い出力は違います。
変形の後は、元の問題へ直ちに戻るのでなく、できた式を読み直します。区間上の二次式なら軸と端、二次方程式なら次数と根の位置、商なら分母と符号、軌跡の必要条件なら逆構成が次の問いになります。ここが、三角関数の処理から他の知識へ仕事を渡す場所です。
うまく進まない候補を見切る目安もあります。一つの量へ置いたのに別の量が残る、次数を下げたのに根号と符号の場合分けが増える、欲しいのが個数なのに値域しか出ない場合は、目的へ届くまでの仕事を比べ直します。計算が必ず短くなる一つの尺度があるわけではありません。条件を管理する手間まで含めて比べます。

学習の道筋

• 第1章　一つの量へまとめ、値と角を往復する
• 第2章　求める情報に合わせて、残す形を選ぶ
• 第3章　零・符号・欠落点を、変形の前後で保つ
• 第4章　角の条件を、図形・存在・同時実現へ渡す
• 第5章　周期・回転・角度を、別の単元へ記録する
• 第6章　関数・積分・極限へ渡し、必要な条件を選び直す

復習と転移を分けて練習する

例題を閉じて同じ問題を解けることは、判断の定着です。次は式の外形や要求を変えて、どの条件から同じ構造を疑えるかを試します。第3回ではAを定着・復習、Bを転移、Cを複数の構造を接続する総合として表示します。Aを解けたことだけで、初見の転移までできたとは判断しません。
追加履修の節は、三角関数からその単元へ情報を渡す判断を扱います。確率・数列・ベクトル・複素数平面・微積分そのものの全基礎を教える節ではありません。各節の履修表示を確認し、未習なら第1章〜第4章と基本体系の総合問題を先に学べます。

第1章　一つの量へまとめ、値と角を往復する

式を一つの量へまとめる候補を挙げ、その量の値域と、一つの値に対応する角の個数を区別できるようにします。

§1　求めるものが変わると、変換後の仕事も変わる

必要な履修：数学Ⅰ・二次関数、数学Ⅱ・三角関数

問題のどこを見るか

正弦は二乗だけ、余弦は一次で現れています。$\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$なら一方を消せるので、余弦の値だけを追う候補が出ます。両小問は同じ変換から始められますが、(1)には値の範囲、(2)には値と角の対応が必要です。

何を先に試すか

正弦の二乗を余弦へ替えるだけで一変数になります。最初から合成しても二乗と一次が別々に残るので、まず未知の三角値の種類を減らします。二次式になったら、三角公式を探し続けず二次関数へ移ります。

方法を比べ、次の判断へ進む

最初の変形で、三角関数の問題は区間上の二次関数になりました。ただし「二次方程式の根が二つ」と「角が二つ」は違います。根ごとに単位円へ戻す作業が残っています。
ここで自分のつまずきを分けられます。正弦の二乗を消せなかったなら三角関数の処理、平方完成や端値比較で止まったなら二次関数、根が分かった後に角を数え違えたなら変数の対応が課題です。「三角関数が苦手」の一言では復習箇所を決められません。
置換から撤退する基準も持ちます。例えば$\sin\theta+\cos^2\theta$を$\cos\theta$だけで表そうとすると、$\theta=\pi/2,3\pi/2$で置換値はともに$0$なのに元の式は$1,-1$です。この一変数では情報が足りません。一方、$t=\sin\theta$なら$t+1-t^2$となります。根号が残ったら必ず撤退する、という規則ではなく、同じ置換値で必要な出力が一意に決まるか、残った符号を管理する費用が目的に見合うかを検査します。

§2　合成した後、山に届くかを調べる

必要な履修：数学Ⅱ・三角関数

問題のどこを見るか

同位相の正弦と余弦の一次式です。二つの増減を別々に追うより、一つの波へまとめると山と端が比較できます。しかし角が一周しないので、振幅だけでは答えを決められません。

何を先に試すか

指定区間では正弦が増え、余弦が減るため、和がどちらへ動くかは各項の増減だけでは決まりません。合成で一つの波へする候補が出ます。逆に二項がともに増える・減る区間なら、端を直接調べて済むこともあります。

方法を比べ、次の判断へ進む

合成の出力は振幅と位相です。次の問いは「指定された角が、その波のどの部分を通るか」です。基本グラフの増減、山・谷、端の順に確認すると、最大値と等号の角を同時に決められます。
狭い区間なら、合成を使えることと、先に使うことは別です。例えば$0\leq\theta\leq\pi/6$で$5\cos\theta-12\sin\theta$は両項が減少するので、端の比較だけで最大$5$、最小$5\sqrt3/2-6$と決まります。合成なら振幅$13$と位相を求めた後、山が区間内か調べる仕事が増えます。この場合は直接の増減を先に使えます。逆に二項の増減が逆向きなら、各項を別々に評価しても和の極値は決まらず、合成の利点が生まれます。

§3　条件の和を保存し、隠れた共通の一次式も探す

必要な履修：数学Ⅰ・数と式、二次関数、数学Ⅱ・三角関数

問題のどこを見るか

条件が与えるのは和です。$s=\sin\theta,c=\cos\theta$と書き、二つを交換してみると、和の方は変わらず、差の方は符号が反転します。和と積で足りるものと、差の符号が追加で必要なものを区別できます。

何を先に試すか

条件の和から積まで分かるので、対称な求値には個々の三角値を解く必要がありません。交換で変わる求値には同じ情報では足りず、差の符号を追加する仕事が必要です。
一次の角と倍角が混在すると、全てを一つの同じ周波数の波へ合成することはできません。二倍角の部分だけの極値を足しても、一次の部分と同じ角で実現する保証がありません。一次項に明確な係数比があるなら、倍角を$s^2,sc,c^2$へ戻す候補を比較します。次数を下げる方向だけが常に優先されるのではなく、式全体を同じ量へまとめられるかが目的です。候補の二乗を引いた残りが二乗和の定数になるかを検査してから、その量だけの問題へ進みます。

方法を比べ、次の判断へ進む

先に$s,c$の二次方程式を解く方法もあります。ただし対称な式の値だけなら、どちらが$s$かを決める作業は不要です。差を問われたとき初めて、二つの割り当てが別の値を出すと分かります。

見た目を変えて、同じ判断を試す

今回は「繰り返す式が見えたら置く」だけでは、まだ候補が見えません。一次部分は$-2(s+2c)$です。二次部分より係数が少ないので、ここから$q=s+2c$を候補にし、二次部分も$q$だけにできるかを試します。
$q^2=s^2+4sc+4c^2$を元の二次部分から引くと、残りは$s^2+c^2=1$です。完全平方が最初からある必要はありません。円の関係式で定数になる残りがあるなら、やはり一つの量へまとめられます。

§4　二次方程式の根を、角の個数へ戻す

必要な履修：数学Ⅰ・二次関数、数学Ⅱ・三角関数

問題のどこを見るか

式は正弦一つの二次式なので$t=\sin\theta$へ移れます。個数を答えるには、二次式の根が$[-1,1]$へ入るかと、その根に何角が対応するかの二つの仕事を分けます。

何を先に試すか

角の個数には、二次方程式の実根数だけでは足りません。先に正弦の像を作り、放物線の各部分の値域を出すと、根が区間へ入る境界を見つけやすくなります。根の公式も候補ですが、その後に同じ範囲・対応の検査が残ります。

方法を比べ、次の判断へ進む

境界は判別式が零のときだけではありません。頂点で重根が生まれる、端根が逆像の個数を変える、根が区間を出る、という別の構造変化があります。放物線の各枝の値域を作ると、どの境界を調べるかが問題文から決まります。
この問題の三角関数固有の仕事は$t$の範囲と角への対応です。二枝の配置は二次関数の仕事です。両方を接続する表を作ることが、解法全体の核心です。

第2章　求める情報に合わせて、残す形を選ぶ

似た式でも、比・上下の限界・零点・商では欲しい出力が違います。方法を一つ思い出すだけでなく、変換後に何が残るかを比較します。

§5　比を答えたいから、定数を同じ次数へそろえる

必要な履修：数学Ⅱ・三角関数

問題のどこを見るか

欲しいのは角そのものではなく、$\sin\theta/\cos\theta$です。比だけを残すには、全項を$\cos^2\theta$で割れる形が有利です。障害は右辺の定数ですが、$1=\sin^2\theta+\cos^2\theta$で二次へ書き直せます。これが同次式を疑う理由です。

何を先に試すか

求めるのは比なので、その比を直接残せる操作を優先します。二倍角も可能ですが、得た角から比へ戻す仕事が加わります。割る前の余弦零だけは、計算の短さにかかわらず検査します。
同次式があっても、既に簡単な関係が読めるならそこから終えます。例えば$(\sin\theta-\cos\theta)^2=0$から正接を求めるなら、先に二値が等しいと読み、二乗和から余弦非零を確認すれば$\tan\theta=1$です。正接の二次方程式を作る方法も成立しますが、今見えている等式以上の情報は不要です。比を残す変換は、比が直接読めない障害を除くために選びます。

方法を比べ、次の判断へ進む

「同次式だから割る」と覚える前に、比を得るという目的から逆算してください。同次式とは、各項の次数が同じ式です。$s^2,sc,c^2$はすべて二次なので、$c^2$で割ると$s/c$だけになります。
二倍角でも与式を変形できます。しかし今回は最終的に正接の値へ戻す仕事が増えます。求める比を直接未知数にできる方法を基本解法に選びました。

§6　同じ二次式でも、極値なら除算を避けられる

必要な履修：数学Ⅰ・二次関数、数学Ⅱ・三角関数

問題のどこを見るか

比を求めた例と同じ二次同次式ですが、欲しいのは方向比ではなく式の上下の限界です。二次の三種類を$1,\cos2\theta,\sin2\theta$へ移すと一次式になります。全実数の角でのまま扱え、割る量の例外も作りません。

何を先に試すか

全実数の角に対する極値なら、二倍角で一つの波にすれば上下の限界へ直結します。正接へ移すと有理式の値域と欠落方向を調べる仕事が増えます。ただし短い区間なら、二項の増減から端を直接比べる方が短い場合もあります。

方法を比べ、次の判断へ進む

正接で表すと$Q=(4t^2+4t+2)/(1+t^2)$となり、分数の極値を調べる必要があります。間違いではありませんが、一次の波へ移す方が今の目的に短く届きます。
単位円上の二次式として平方を作る方法もあります。例えば二乗和の関係式から、上界と下界との差を非負の平方へ表せれば、等号の方向も読めます。計算を短くできる平方が見つかる場合の候補であり、毎回その形が最初から明らかとは限りません。
平方の候補をどう作るかも確認します。$u^2+v^2=1$で$au+bv$の大きさを押さえたいとき、逆符号の交差項を持つ$bu-av$を併せると、展開から

§7　角の差だけでなく、和・積・商を読む

必要な履修：数学Ⅱ・三角関数

問題のどこを見るか

二角の差は一定です。和なら同じ角の一次結合、積なら積和で角の差を定数にする、という二候補を比べます。「角を統一する」こと自体を目標にせず、一変数の波へまとめることを目標にします。

何を先に試すか

和は角をそろえて一次式、積は積和で定数の角差を残すと、未知の角が一つになります。商では分母零を先に保ち、値が指定された方程式なら分母を払う候補を比較します。「角差が定数」という観察だけで操作は決まりません。

方法を比べ、次の判断へ進む

積を加法定理で全面展開すると$s^2,c^2,sc$の整理が必要です。積和なら「差の角が定数」という情報が一段で残ります。逆に一次の和を積へするか展開するかは、係数の簡単さと、零点・値域のどちらを求めるかで比べられます。
同じ$\sin(\theta+\pi/4)\sin(\theta-\pi/4)$でも、零点の要求なら既にある二因子を零にすれば終わります。全実数での値域なら、そのまま各因子の範囲を掛けると二値の依存を失うので、積和で$-\cos2\theta/2$へします。積和は「積だから使う」操作ではなく、原始関数や値域を一つの角へ渡すための候補です。零点と範囲では欲しい情報が違います。

§8　商へ移ったら、像・極・増減を別々に渡す

必要な履修：数学Ⅱ・三角関数、数学Ⅰ・二次方程式、式の計算

問題のどこを見るか

分子の$1+\sin2\theta$は二乗和と倍角から$(\sin\theta+\cos\theta)^2$です。分母にも同じ一次式が現れています。個々の正弦・余弦を消すより、この反復する量を保存すれば一変数の商へ移れます。ここで目的は極値なので、置換の像と商の増減までを一緒に調べます。

何を先に試すか

分子と分母に反復する量があります。個々の上下限の比では同じ角の依存を失うため、反復量を残します。この範囲では商の二値の差の符号が読めるので、微分を準備しなくても増減へ移れます。

方法を比べ、次の判断へ進む

分子と分母の最大値を別々に求め、その比を取る方法は一般に極値を与えません。両方が同じ角に依存するためです。今回の置換はその依存関係を保存します。
一変数になってからも、分母の正負と零を確認します。指定区間では分母が正で、二つの値の差を取ると全因子の符号が分かるので、微分を使わず増加を示せます。最後は$p$の端を何角が取るかへ戻ります。三角関数の変換、実数の商の増減、元の角への対応はそれぞれ別の仕事です。

パラメータの商で、分岐点をどう発見するか

$a\gt 0$に対して$f_a(t)=t^2/(a+t)$を考えます。これは三角関数から渡された後の代数の仕事です。分母から$t=-a$は除外します。商を割り算すると$f_a(t)=t-a+a^2/(a+t)$なので、同じ枝の$u\lt v$について

第3章　零・符号・欠落点を、変形の前後で保つ

積を作る、割る、二乗する、半角へ置く操作が、どの点を残し、どの情報を失うかを確かめます。計算の短さと条件を管理する手間を一緒に比べます。

§9　割る前に、符号と零点を扱う手間を比べる

必要な履修：数学Ⅰ・不等式、数学Ⅱ・三角関数

問題のどこを見るか

同次式なので正接への置換が浮かびます。ただし三次の$\cos^3\theta$で割ると、正負で不等号の向きを分けます。その前に共通因子を見ると、非負の$\cos^2\theta$を残せます。方程式・不等式では、除算が失う情報の少なさも比較材料です。

何を先に試すか

方程式と違い、不等式で割る操作には向きの管理が加わります。零因子を残した積の形で符号を読む方と、零・正・負へ分けて割る方を比較します。平方の因子が非負なら、積の形を保つ方が場合分けを減らせます。

方法を比べ、次の判断へ進む

正接への置換を選んでも解けます。$c\gt 0$では$\tan\theta\geq1$、$c\lt 0$では$\tan\theta\leq1$となり、各枝へ戻します。共通因子を残す解法は、符号場合分けを一つ減らせます。一方、求めるものが正接の範囲なら、その分岐を引き受ける意味があります。

§10　高倍角でも、零点だけなら積を作る

必要な履修：数学Ⅱ・三角関数

問題のどこを見るか

欲しいのは零点です。二つの余弦の差なので、和積で二つの正弦の積へできます。五倍角を五次多項式へ展開する前に、零点を角の一次条件で出せないかを比べます。

何を先に試すか

欲しいのは高倍角の全値でなく、二つが等しい角です。差を積へすると単純な角の零点に分かれるので、高次数の多項式展開を避けられます。値そのものや多項式の関係が欲しい場合は、この優先順位が変わります。

方法を比べ、次の判断へ進む

因子を割ると、その因子が零である解を落とします。積が零なら各因子の解を合併し、重なる角は一回だけ数えます。ここで次数を下げる目的は計算量だけでなく、解と角の対応を直接見える形にすることです。

§11　半角正接は、角の和へ近付くために選ぶ

必要な履修：数学Ⅱ・三角関数、いろいろな式

問題のどこを見るか

解の個数だけなら合成が短い候補です。しかし今回は二解の半和が欲しいので、$t_j=\tan(x_j/2)$の和と積が、正接の加法定理へ直結します。一般的な置換を選ぶ理由を、この要求から出せます。

何を先に試すか

個数だけなら合成が直接的です。二解の半和の正接も欲しいので、二根の和と積を残す方法が有利になります。開区間が半角正接と一対一となる条件を提供していることも、候補を選ぶ根拠です。

方法を比べ、次の判断へ進む

二解があることは、求める正接が定義される保証ではありません。また、この置換では$x=\pm\pi$を表せません。区間を閉じたときには、元の式に両端を入れる仕事が追加されます。
半角正接は三角有理式を代数化する強い方法ですが、次数、分母、欠落点の費用があります。一次式の値域だけなら合成、一つの正弦の二次式なら直接その正弦へ置く方法が、通常は短くなります。

§12　符号を失う変形では、同値の条件を残す

必要な履修：数学Ⅰ・方程式、不等式、数学Ⅱ・三角関数

問題のどこを見るか

平方根の左辺は非負なので、右辺の符号が最初の情報です。二乗はその情報を消します。商の不等式では、分母の正負によって不等号が変わり、零ではそもそも式がありません。

何を先に試すか

平方根の方程式は、二乗前の符号を残せば代数化できます。分母を払う等式も非零を残せば同値です。不等式では符号による向きまで必要なので、零点と符号の区間を直接読む方法も比較します。

方法を比べ、次の判断へ進む

操作の目的は代数的な形へ移すことですが、その操作が消す情報も同時に記録します。符号を先に条件へしておけば、最後に元の式へ戻す判断が短くなります。

比較練習　章をまたいで、目的と方法を比べる

方法名を見ずに、最初に使う条件と、操作後に残る仕事を述べてから計算してください。

比較問題 (1)

必要な履修：数学Ⅱ・三角関数

比較問題 (2)

必要な履修：数学Ⅱ・三角関数

比較問題 (3)

必要な履修：数学Ⅱ・三角関数、数学Ⅰ・二次関数

比較問題 (4)

必要な履修：数学Ⅱ・三角関数

第4章　角の条件を、図形・存在・同時実現へ渡す

角の和、円の座標、回転、存在条件を、使いやすい式や配置へ翻訳します。必要な関係式を得た後、同じ角・同じ点・同じ中心で実現するかを戻って確かめます。

§13　固定された角の和を、定数として残す

必要な履修：数学Ⅰ・図形と計量、数学Ⅱ・三角関数

問題のどこを見るか

二角を独立に動かす問題ではありません。和が定数なので、和積・積和に現れる平均を固定し、半差だけを変数にすると制約を保存できます。
固定和が直接書かれていない場合もあります。例えば$0\lt B,C\lt \pi/2$で$\tan B\tan C=1$なら、$\tan C=1/\tan B=\tan(\pi/2-B)$。正接がこの区間で一対一なので、$B+C=\pi/2$と分かります。積を見てすぐ展開する前に、角の範囲と逆数の関係から自由度が一つに減るかを調べます。角の範囲が違えば同じ結論をそのまま使えません。

何を先に試すか

二角の和が定数なら、和積・積和の平均角を定数にでき、半差一つへ移れます。角を独立な変数として扱うと、この条件を失います。半差の範囲には正の内角という条件も一緒に渡します。

方法を比べ、次の判断へ進む

角の和が固定なら、未知量は実質一つです。平均と差への変換は、二つの独立な未知角を勝手に一つへ置く操作ではなく、既にある関係を式へ反映する操作です。

§14　距離や軌跡を、円の座標へ翻訳する

必要な履修：数学Ⅱ・三角関数、図形と方程式

問題のどこを見るか

動点は円上なので、距離の二乗の二次部分が定数になります。距離をそのまま根号で扱うより、二乗して一次式の範囲へ移す候補が出ます。全円での近点・遠点と、指定弧に入る点を区別します。

何を先に試すか

距離を二乗すると円の二乗和が定数になり、残る一次式の値域へ進めます。全円なら図形の近点・遠点でも直接処理できますが、弧が制限される場合はその方向を取れるかが残ります。軌跡は消去式に加え、逆向きの実現が必要です。

方法を比べ、次の判断へ進む

距離の二乗は非負なので、最後に平方根へ戻しても大小は保たれます。最長側で全円の反対向きの点を使うと、第一象限という条件を失います。
円上の一次式なら合成と図形、円上の二次式なら二倍角や平方、円と直線の交点なら原点と直線の距離が候補です。$Ax+By=d$は$(A,B)\ne(0,0)$で距離$|d|/\sqrt{A^2+B^2}$を半径と比較できますが、円弧なら交点の所属をさらに確かめます。傾きを使う角の問題では鉛直線を別にします。

面積を積の最大値へ移す場合

三点$A=(0,0),P=(u,v),Q=(p,q)$の面積は$|uq-vp|/2$です。$r=\sqrt{u^2+v^2}\gt 0$なら$\cos\gamma=u/r,\sin\gamma=v/r$として、角$\gamma$を引いた座標で$AP$は横向きになり、$Q$の高さは$|q\cos\gamma-p\sin\gamma|=|uq-vp|/r$。底辺$r$を掛けて二で割ると導けます。$P=A$なら面積零で式も同じです。原点でない$A$には、他二点から$A$の座標を引いて使います。ベクトルの知識は要りません。
円上の三点なら、座標の面積公式から正弦や余弦の積が現れます。ここでは二倍角で全部を和へする以外に、非負の積の上界を作る候補もあります。例えば$-1\leq t\leq1$で$(1-t)^3(1+t)$を最大にしたいとき、二つの因子の重複度が$3:1$なので、三つの$(1-t)/3$と一つの$1+t$を考えると和が定数$2$になります。
非負の四数$u,v,w,z$について、二数の相加相乗平均を二回使えば$uv wz\leq\{(u+v)/2\}^2\{(w+z)/2\}^2\leq\{(u+v+w+z)/4\}^4$。従って上の積は$27/16$以下で、等号は$(1-t)/3=1+t$、すなわち$t=-1/2$です。「積を小さくする」ために次数を下げるのではなく、「和が定数になるよう因子を割り当てる」ことで、最大値へつなげています。等号の値が元の像内にあることも確認しました。微分を学んだ後は増減を調べる別解もあります。

固定角は、円周角か余弦定理へ

$A=(-1,0),B=(1,0)$を$P=(x,y)$、$y\gt 0$から見込む角が$\pi/4$なら、円周角の定理で円弧を疑うか、余弦定理で角を距離へ移す候補があります。後者は円の中心がまだ見えない段階でも使えます。$r^2=x^2+y^2$と書くと$AP^2+BP^2=2(r^2+1)$で、余弦定理から$\cos\angle APB=(r^2-1)/(AP\,BP)$。また$(AP\,BP)^2=(r^2-1)^2+4y^2$です。
角が鋭角なので$r^2-1\gt 0$を残し、二乗すると$(r^2-1)^2=4y^2$。$y\gt 0$から$r^2-1=2y$、従って$x^2+(y-1)^2=2$、$y\gt 0$。逆にこの円弧の点は$r^2-1=2y\gt 0$で、余弦定理の余弦値が$1/\sqrt2$となるから元の角を満たします。符号を捨てたもう一つの円弧は補角$3\pi/4$に対応します。正弦や二乗だけでは補角を区別できないため、指定角の符号を保持します。
この方法には数学Ⅰの余弦定理を使います。円周角の別解には数学A・図形の性質があると便利ですが、必須ではありません。

直線のなす角は、方向の正接へ

有限な傾きが$m_1,m_2$なら、各直線の方向角を$\alpha,\beta$として$\tan\alpha=m_1,\tan\beta=m_2$です。方向の差の正接は、分母が非零なら$\tan(\beta-\alpha)=(m_2-m_1)/(1+m_1m_2)$。求めるのが鋭角なら、二直線の向きの取り方による符号を消して絶対値を取ります。$1+m_1m_2=0$なら余弦の差の加法定理から直角となり、正接は定義されません。
最初から角そのものを求める必要はありません。傾きが既に正接の情報を与えているため、角差の正接へ直接渡せるのが、この候補を選ぶ理由です。鉛直線には有限な傾きがないので、方向角$\pi/2$ともう一方の方向から読むか、垂直な方向の座標を使います。傾きの式へ無限大を数として代入しません。

§15　座標の交換と回転を、鏡映へまとめる

必要な履修：数学Ⅱ・三角関数、図形と方程式、いろいろな式

問題のどこを見るか

二式の$x,y$が交換されています。逆の式を直接回転して連立すると三次式が混ざりますが、座標の交換は直線$y=x$での鏡映です。「鏡映してから回転」を一つの鏡映へまとめられれば、交点の位置を先に絞れます。

何を先に試すか

座標交換は鏡映です。回転と合成した鏡映軸を作れば、二つの三次式の連立より低い計算で済む可能性があります。ただし軸を作るだけでは交点を軸上に絞れず、増加曲線の弦の方向との比較を次に使います。

方法を比べ、次の判断へ進む

「回転するから複素数を使う」と決める必要はありません。ここでは偏角の変化と、増加曲線の弦の向きだけで、高次の連立を避けられました。狭義増加とは$u\gt v$なら$f(u)\gt f(v)$、非減少とは$f(u)\geq f(v)$のことです。弦の正の傾きには前者を使います。
基本の座標回転も加法定理から作れます。点$(x,y)=(r\cos t,r\sin t)$を角$\alpha$だけ回すと$(x\cos\alpha-y\sin\alpha,x\sin\alpha+y\cos\alpha)$です。原点では$r=0$で同じ式となります。中心が$(p,q)$なら、先に$(p,q)$を引いて回し、最後に足して戻します。短い一回の変換ならこの座標式で十分で、未習の複素数平面を導入する必要はありません。

§16　「存在」と「全て」を読み、選ぶ順序を保つ

必要な履修：数学Ⅰ・集合と命題、二次関数、数学Ⅱ・三角関数

問題のどこを見るか

「全て」は最も不利な値、「ある」は実際に取る値への所属です。また、角を$a$ごとに選び直せるか、一角を先に固定するかでも条件が変わります。式変形より先に、誰が何の後で選ばれるかを読みます。

何を先に試すか

「全て」なら最小値、「存在」なら値域への所属という別の情報が必要です。この翻訳を先にすれば、不要な根の列挙を減らせます。「各パラメータで角を選べる」と「同じ角が全パラメータに通用する」は別に検査します。

方法を比べ、次の判断へ進む

最小値と最大値があることだけでは、一般の関数が中間の全値を取るとは限りません。ここでは区間上の二次関数なので、その枝の像から全ての中間値が実現すると分かります。開区間なら、端の値が存在条件に含まれるかも確かめます。
合成関数へ条件を移す場合も、入力の像が仮定の範囲に入ることが必要です。$f$が$[-1,1]$上の非減少な奇関数なら$f(0)=0$で$t f(t)\geq0$。さらに$|f(t)|\leq1$なら$0\leq\cos\theta f(\cos\theta)\leq|\cos\theta|$です。上界だけから非負性まで推論せず、奇性と単調性を別の役割として使います。
端を取らない値域でも「全て」の条件は判断できます。$0\lt \theta\lt \pi/2$の正弦の値域は$(0,1)$で、最大値はありません。それでも全ての角で$\sin\theta\leq k$となる条件は$k\geq1$です。$k\lt 1$ならそれより大きい正弦値が実現するからです。一方、$\sin\theta=k$となる角の存在条件は$0\lt k\lt 1$。上界を使う要求と、値そのものの実現を使う要求を区別し、未実現の端を「最大」と呼ばないようにします。

回転する領域の「どれか」と「全部」

楕円盤$x^2/4+y^2\leq1$を全ての角だけ回すとき、どれかに入る点全体は半径$2$の円盤、全てに入る点全体は半径$1$の円盤です。前者は長軸を点の方向にそろえれば十分、後者は短軸を点の方向にそろえた場合まで耐えることが必要で、半径$1$以内なら全方向で十分です。
境界の楕円だけを回すと、どれかに乗る点は半径$1$から$2$までの円環ですが、全ての境界に乗る点はありません。点の方向を長軸にそろえると半径$2$、短軸なら半径$1$が必要になり、同時には満たせないからです。「どれか」は和集合、「全部」は共通部分と呼びます。領域と境界線の取り違えも、存在と全ての読み違えと同じように結論を変えます。

§17　一つの配置で、複数の境界を同時に満たす

必要な履修：数学Ⅱ・三角関数、図形と方程式、数学Ⅰ・不等式

問題のどこを見るか

四頂点と三辺を個別に調べると条件が十二個になります。境界は一次式なので、各境界方向に最も出る頂点を先に選べば三条件へまとめられます。それぞれの条件に適する中心が別々にあるだけでは不十分で、同じ中心を選ぶ必要があります。

何を先に試すか

一次の境界は図形上の最大値で全頂点を一度に検査できます。共通の中心の未知数を残した三不等式を作り、係数の関係で消します。必要条件が短く出ても、実際の一中心を作る仕事は省けません。

方法を比べ、次の判断へ進む

三辺の一次式の和が零であるため、中心の二変数を足し算で消せました。さらに、残った余裕を三方向へ均等に配って、一つの中心を構成しました。必要条件を足しただけで十分と結論するのは危険です。
長方形の半辺を$a,b$、第一の辺の方向を$\theta$とします。中心を原点に置いた各点の座標は

見た目を変えて、同じ判断を試す

(1)は距離を求めているのではなく、境界の左辺という一次式の最大値を求めています。係数$A=B=-1$をそのまま入れる候補と、左右両辺を単位方向へそろえる候補があり、同じ条件を出すか比較します。

§18　有理・無理では、有限回の公式が橋になる

必要な履修：数学Ⅰ・数と式、数学Ⅱ・三角関数

問題のどこを見るか

小数の様子では無理数を証明できません。角を二倍すると既知の正接$1$になるので、倍角を使えば、未知の値の四則演算と既知の無理数が結び付きます。

何を先に試すか

数値近似では有理性を判定できません。倍角を有理式にすれば、有理数だという仮定を保ったまま既知値へ渡せます。分母の条件を確保し、有限回の式から矛盾が出る角を選ぶのが目的です。

方法を比べ、次の判断へ進む

「角が$\pi$の有理数倍」と「三角値が有理」は別の情報です。正接の倍角を何回も使う場合、各回の分母が零でないことを確認します。動く指数をまとめて扱いたいときは、後半の多項式漸化式が次の候補になります。

比較練習　式から条件と対応を戻す

方法名を見ずに、最初に使う条件と、操作後に残る仕事を述べてから計算してください。

比較問題 (5)

必要な履修：数学Ⅱ・三角関数、数学Ⅰ・二次方程式

比較問題 (6)

必要な履修：数学Ⅱ・三角関数、図形と方程式

比較問題 (7)

必要な履修：数学Ⅱ・三角関数、数学Ⅰ・集合と命題

比較問題 (8)

必要な履修：数学Ⅱ・三角関数、数学Ⅰ・二次方程式

第5章　周期・回転・角度を、別の単元へ記録する

方向別の回数、倍角の多項式、回転する座標、内積へ三角関数の情報を渡します。各節の追加履修を確認し、未習の節は後へ回せます。
ここからは追加の履修を使います。第1章から第4章の基本体系は、ベクトル・複素数平面・数学Ⅲを前提にしません。未習の節は後へ回して構いません。

§19　周期を見たら、方向別の回数と時系列を区別する

必要な履修：数学A・場合の数と確率、数学B・数列、数学Ⅱ・三角関数

問題のどこを見るか

方向は無限の角ではなく三種類です。各歩の順序は位置の和に影響しないので、方向別の回数を導入すると終点条件を圧縮できます。三角関数の仕事は、方向を座標へ翻訳するところです。

何を先に試すか

独立に方向を選ぶなら終点には方向別の回数だけで足ります。回転と前進を選ぶなら、歩ける方向が時系列に依存し、同じ回数でも全列を許せません。一回の操作の意味が、記録する情報の量を決めます。

方法を比べ、次の判断へ進む

終点条件を得た後は整数と場合の数です。一方、「進むか向きを変えるか」を選ぶ問題では、進んだ方向がそれ以前の回転に依存します。最初から三方向を独立に選んだ列として数えると、許されない列が混ざります。
終点の位置に加えて最後の向きも指定されたら、まず回転回数を一周の周期で分類します。その条件と、方向別の移動回数の座標条件を別々に作り、同じ操作列で同時に満たします。回転の間の移動数をブロックで書けば、零回の移動も含めて履歴を保持できます。独立なのが操作の選択なのか移動方向なのかを、出題文へ戻って確かめます。

位置の三状態から、確率の漸化式へ

円上で毎回$\pm2\pi/3$回転するなら、位置は角$0,2\pi/3,4\pi/3$の三状態に限られます。方向別の歩数を全て数える代わりに、欲しい状態へ次に戻れる確率を記録できます。角$0$から一回では戻れず、他二状態からはそれぞれ確率$1/2$で戻るので、帰還確率は$p_{n+1}=(1-p_n)/2$。数学Bの一次漸化式へ渡した後、一定値$1/3$を引けば等比数列になります。状態を少数へまとめられる周期と、次の操作の依存関係が、この方法の利用条件です。

§20　高倍角は、固定次数・変動次数・有理性で選び分ける

必要な履修：数学Ⅱ・三角関数、いろいろな式、数学B・数列（漸化式）、数学A・数学と人間の活動（整数の議論）

問題のどこを見るか

全て奇数冪で定数項がないため、まず$x$をくくれます。残りは$x^2$の二次式です。「実数解を求める」という要求だけなら、この見えている代数構造で直接終えられそうです。一方、係数は五倍角の多項式とも一致します。角による表示や次数を動かす規則まで欲しいかによって、この候補の価値が変わります。

何を先に試すか

単に根が欲しいときは、共通因子と$x^2$の二次方程式を先に試します。低次数で閉じ、余弦への置換の範囲や角から根への戻しを増やさないためです。角で解を整理したい、一般の$n$倍角へ広げたい、根の配置を一つの波で見たいときには、$x=\cos\theta$と多項式の漸化式が候補になります。係数の一致はその方法が使える根拠であり、常に最優先にする根拠ではありません。

方法を比べ、次の判断へ進む

この例では、求根だけなら代数法が短く、角表示には五倍角法が適しています。変換後の出力を比べることが方法の優先順位です。高倍角の構造を知る意味は、一つの低次式を必ず遠回りに解くことではありません。
高倍角を作り直すには、加法定理の二式を足した

有理性・相反式・余りへ渡した後の判断

$\theta/\pi$と$q=2\cos\theta$が有理なら、ある正整数$m$で$m\theta$は$2\pi$の整数倍になります。$C_0=2,C_1=q,C_{n+1}=qC_n-C_{n-1}$から、$n\geq1$で$C_n$は$q$の整数係数、最高次係数$1$の多項式です。従って$C_m(q)-2=0$。$q=p/r$を既約、$r\gt 0$として$r^m$を掛けると、最高次以外の項は$r$で割れるので$r$は$p^m$を割ります。既約性から$r=1$。三角関数は整数係数の式と有限の周期を用意し、最後は整数の割り切りです。$q\in[-2,2]$から候補は$-2,-1,0,1,2$で、各値は実現します。
次の相反式と単位円上の複素数の議論には、数学C・複素数平面を追加で使います。
相反四次式$z^4-az^3+bz^2-az+1$は、定数項から$z\ne0$なので$z^2$で割れます。$t=z+1/z$なら$t^2-at+b-2=0$。二根$t_1,t_2$が$[-2,2]$へ入る条件を調べれば、$(z^2-t_1z+1)(z^2-t_2z+1)$の全根が単位円上になる条件が出ます。逆向きは$t_j=2\cos\theta_j$と書けば$z=\cos\theta_j\pm i\sin\theta_j$で確かめられます。$t_j=\pm2$の重根を除く必要はありません。ただし単位円上にあることは有限回の乗法で$1$へ戻る保証ではありません。
多項式の余りでは、$1+x+\cdots+x^{m-1}$を法として$(x-1)(1+x+\cdots+x^{m-1})=x^m-1$から$x^m$を$1$へ置き換えられます。最後は次数$m-1$未満へさらに落とします。これは特定角の周期と似た構造ですが、数値を一つ代入しただけで余り全体が決まるわけではありません。
等差の角の和なら、例えば$2\sin x\sin((2k+1)x)=\cos2kx-\cos(2k+2)x$を足すと中間項が消えます。この形を候補にする根拠は、隣接する添字で同じ項が逆符号になることです。最後に$\sin x=0$を別に調べます。因子を掛けて消去を作ることと、その因子で割れることを分けてください。

§21　動く軸を固定するが、定数化を計算で確かめる

必要な履修：数学C・複素数平面、数学B・数列、数学Ⅱ・三角関数

問題のどこを見るか

鏡映軸が毎回同じ角だけ回るので、軸と一緒に座標を回す候補が出ます。複素数$q=\cos\delta+i\sin\delta$なら、$q^{-n}$を掛けて角$n\delta$を引けます。原点を通るかどうかは、変換の定数項に影響します。

何を先に試すか

軸の角が等差で動くなら、その回転を引く座標を試せます。係数が一定になるかを計算し、原点を通らない軸なら定数項も確認します。向きが周期的でも位置が周期的とは限らないため、最後は静止座標へ戻します。
回転座標の文字を先に教えられていなくても、更新式の係数に$n$倍の角が毎回同じ割合で増える形を探せます。点をその角だけ逆回転して比べると、係数の$n$依存を消せるか試せます。係数が定数になっても定数項が残る場合には平行移動が蓄積するので、周期を結論せず二回の更新を観察します。

方法を比べ、次の判断へ進む

回転する法線と同じ角を引くことで係数が定数になりました。軸が原点を通らず、例えば回した座標で$x=1$なら鏡映は$w\mapsto2-\overline w$です。回転だけでなく平行移動の項も残ります。任意に動く軸でいつも定数化する、と一般化してはいけません。
垂線の足なら、軸を固定した後に実部を取る操作です。前の点と軸の角の差が一定なら、長さは一定の余弦倍、方向は一定回転となって等比数列へ渡せます。
例えば確認問題の軸の右辺$1$を$n$へ変えると、同じ回転座標でも$w_n=2n-q\overline{w_{n-1}}$で定数項が動きます。共役の係数が一定になったことだけでは、更新全体を定数化したとはいえません。残る項が周期的なら一周期分を合成する、一次的に動くなら原点を移す候補を比べ、計算で消えるかを確かめます。

投影では、長さと向きを別々に記録する

前の点の方向が$(n-1)\alpha$で、次の投影軸が$n\alpha$なら、長さは$\cos\alpha$倍です。$0\lt \alpha\lt \pi/2$ならこの係数は正なので、向きも$n\alpha$となります。出発点$(1,0)$からは$P_n=((\cos\alpha)^n\cos n\alpha,(\cos\alpha)^n\sin n\alpha)$。複素数で記録すれば公比$\cos\alpha(\cos\alpha+i\sin\alpha)$の等比和へ移ります。係数が負になる角では方向に$\pi$のずれが生じるため、同じ説明をそのまま使えません。

§22　角度条件は、長さで割った内積へ移す

必要な履修：数学C・ベクトル、数学Ⅱ・三角関数

問題のどこを見るか

欲しいのは二方向の角です。ベクトルの座標には正弦と余弦が入っていますが、二乗和から長さが一定と分かります。内積を長さで割れば、角を一つの三角値へ翻訳できます。

何を先に試すか

なす角は内積を二長さで割った余弦です。二乗和で長さを固定できれば、積の二倍角一つへ直ちに移れます。座標の傾きを使う方法では空間の角をそのまま扱えず、非零長さの確認も必要です。

方法を比べ、次の判断へ進む

内積に三角関数の値域を適用するだけでは、角の値域にはまだ戻っていません。なす角の範囲を決め、余弦がそこで一対一であることを使います。零ベクトルなら角が定義されないので、長さで割る前に確認が必要です。
角を求める以外にも、垂直という条件なら内積零、距離の二乗ならベクトルの差の二乗へ移ります。例えば$|\vec u|=|\vec v|$の二点の中点は、位置ベクトル$(\vec u+\vec v)/2$を持ち、直線の方向$\vec v-\vec u$との内積が$(|\vec v|^2-|\vec u|^2)/2=0$です。等距離なら中点が垂線の足の候補になることを、この一般式から認識できます。求める図形条件に合わせて内積を作る入口を選びます。

複素数平面・ベクトルを使わない投影の和

追加の履修：数学B・数列、数学Ⅲ・極限。$c=\cos\alpha,s=\sin\alpha$、$0\lt \alpha\lt \pi/2$とする。上の一定角の投影で得られる点$P_n=(c^n\cos n\alpha,c^n\sin n\alpha)$の座標を足したいとき、回転を二つの実数の式のまま記録できます。有限和の座標を$(U_N,V_N)$とし、一項ずらした和へ加法定理を適用すると、$s^2U_N+csV_N=1-c^{N+1}\cos((N+1)\alpha)$、$-csU_N+s^2V_N=-c^{N+1}\sin((N+1)\alpha)$です。二つの一次連立を解いてから$N\to\infty$とすれば、右辺の最後の項が零へ近付くため、極限座標は$(1,c/s)$となります。収束前に無限和の式を仮定する必要はありません。
一項ずらしても同じ回転・縮小が全項に働くことが、この連立を作る認識条件です。複素数の公比にすると計算を圧縮できますが、この座標の方法に複素数平面・ベクトルの履修は不要です。

第6章　関数・積分・極限へ渡し、必要な条件を選び直す

三角関数だけでは消えない変数、積分の微分因子、断面の集合、極限の変化幅を読みます。公式を追加する前に、現在の式をどの単元の問題として扱うかを選びます。

§23　通常の変数が残るなら、関数の増減へ渡す

必要な履修：数学Ⅲ・微分法と極限、数学Ⅱ・三角関数

問題のどこを見るか

$x$と$\sin x$が混在し、三角関数だけの多項式へはまとまりません。正の区間では$\sin x\gt 0$なので、パラメータを$a=x/\sin x$へ分離すると、水平線との交点数に変換できます。

何を先に試すか

通常の変数$x$が残るため、正弦だけへの置換では$x$を失います。正の範囲でパラメータを分離すれば、単調な関数と水平線の交点へ移れます。先に零の解と除算の端を残します。

方法を比べ、次の判断へ進む

最初の微分に三角関数の符号だけでは決められない分子が残りました。その分子をもう一度関数として分類し、導関数と端の値へ渡しています。微分したから終了ではありません。
増加と導関数が常に正とは同じ条件ではありません。導関数が非負で、零になる点が孤立していれば、区間のどこかでは増えているので狭義増加になれます。一方、合成関数の導関数では外側と内側の両方を微分し、片方の符号だけで結論を出さないようにします。

§24　積分の公式は、残る微分と積の形で選ぶ

必要な履修：数学Ⅲ・積分法、数学Ⅱ・三角関数

問題のどこを見るか

(1)は奇数冪から正弦を一つ残すと$\cos x$の微分が付く。(2)は両方偶数で、この処理では根号を残すので、次数を下げる候補へ。(3)は異なる角の積で、積和なら項ごとに積分できます。目的は角を統一することではなく、既知の原始関数へ移すことです。

何を先に試すか

積の一因子を微分として残せる奇数冪なら置換を先に試します。偶数冪や角の異なる積なら、倍角・積和で原始関数の分かる和へします。半角正接は広く使えますが、簡単な微分因子があるときには計算を増やすことがあります。

方法を比べ、次の判断へ進む

置換では式だけでなく微分$dx$と両端を一緒に変えます。根号$\sqrt{1-x^2}$なら$x=\sin t$も候補ですが、$\sqrt{\cos^2t}=|\cos t|$です。余弦が非負となる角の区間を選んで符号を確定させます。
正弦・余弦の有理式が他の処理で閉じなければ半角正接で有理化できます。ただし角が$\pi$に届く端なら置換値は無限大なので、有限な端$b\lt \pi$で計算して$b\to\pi-0$とします。元の被積分関数が連続なら、置換で現れた無限端は元の特異点とは限りません。

§25　対称性と積分で定義された関数を、式の形から使う

必要な履修：数学Ⅲ・微分法と積分法、数学Ⅱ・三角関数

問題のどこを見るか

区間の中点に関する置換$x\mapsto\pi-x$で正弦が変わらず、係数$x$だけが補い合います。重み付きの積分なら、対称な二式を足して重みを定数へできないかが候補になります。

何を先に試すか

通常の変数の重みには部分積分、対称な区間なら同じ積分を反転して重みを消す方法が候補です。核の角にも変数があれば加法定理で内部と外部を分け、可変端だけの公式を流用しません。
未知の$f$へ入れる量が正弦・余弦の一次式なら、その量の像を先に確かめます。像が仮定の区間をはみ出せば、奇性や上界の仮定をそこへ使えません。像が収まると分かってから、区間の反転で外の因子と内の入力がどう変わるか、外の因子が内側の微分になっているかを比較します。零という厳密値を欲しい要求と、上下から評価したい要求でも優先する入口は変わります。

方法を比べ、次の判断へ進む

対称性は値を平均したのではなく、等しい積分を二つ作って係数を消した操作です。対称性がない区間や関数では部分積分の方が安定します。
$F(x)=\int_0^x\sin(x-t)\cos t\,dt$のようにパラメータが中にもある場合、加法定理で$t$の積分と$x$の係数を分けるか、積和で先に計算します。積和から$F(x)=x\sin x/2$となり、通常の積の微分で$F''+F=\cos x$。また可変端の$\int_{\sin x}^{\cos x}t^2dt$は、まず$(\cos^3x-\sin^3x)/3$にしてもよい。上端・下端の両方が動くことを失わない方法を選びます。

未知の多項式は、展開せず性質を使う

$f$の具体的な係数が与えられず、奇性・増加性・上界だけが分かるときは、値を計算するよりその性質を出力する候補を考えます。$\sin x f(\cos x)$は余弦の微分因子があるので、$H(t)=\int_0^t f(u)du$を使えば$\{H(\cos x)\}'=-\sin x f(\cos x)$です。両端の余弦が同じなら、原始関数の差は零になります。
一方、$\cos x f(\cos x)$には同じ微分因子がありません。奇性から$f(0)=0$、増加性から$tf(t)\geq0$、$|f(t)|\leq1$から$tf(t)\leq|t|$です。積の上下界を積分へ渡す方法へ切り替えます。「同じ$f$が入る」という見た目より、要求が等式か上下界か、どの因子が微分と合うかを先に比べます。

§26　空間では、積分より先に断面の集合を決める

必要な履修：数学C・ベクトル（または空間座標）、数学Ⅲ・積分法、数学Ⅱ・三角関数

問題のどこを見るか

高さ$z=2\lambda$を固定すると、線分上の点の水平座標は$(1-\lambda)(\cos\theta,\sin\theta)+\lambda(\cos\varphi,\sin\varphi)$。長さが固定された二方向の和へ翻訳できます。体積を積分する前に、断面が円盤か、穴のある円環かを決める必要があります。

何を先に試すか

体積の積分式を作る前に、断面の全点がどの線分から実現するかを決めます。角の差は半径を、同時回転は方位を与えます。円周を動くか円盤を動くかで穴の有無が変わり、外半径だけでは断面が決まりません。

方法を比べ、次の判断へ進む

三角不等式だけでは半径の必要条件しか出ません。差の角で全中間半径、共通回転で全偏角を作ることで十分性を示しました。両端の点が円周ではなく円盤を動くなら、短いベクトルも選べるので穴がなくなります。差の角を制限するなら内半径が変わり、共通回転が許されるかも確認します。
線分と円盤の和では、断面が長方形と両端の半円からなる形になることがあります。すべてを円環の公式へ押し込めず、固定した高さで何が動くかから集合を作り直します。

§27　発散する二量は、有限な端で一つの式へまとめる

必要な履修：数学Ⅲ・微分法、積分法と極限、数学Ⅱ・三角関数

問題のどこを見るか

弧長の積分は$\sqrt{1+(y')^2}$です。$y'=-\tan x$なので基本関係式を使うと余弦の逆数へ移せます。二つの量が別々に発散する可能性があるので、極限を分けず、有限な$b$で和を整理します。

何を先に試すか

二つの量が別々に発散するなら、個々の極限を足す規則は使えません。有限な端で和を一つの式にまとめ、消える部分を確かめてから片側極限へ進みます。

方法を比べ、次の判断へ進む

平方根を外すときの符号は指定された区間が与えています。$\sqrt{1+\tan^2x}=1/|\cos x|$を常に$1/\cos x$としてはいけません。また$+\infty+(-\infty)$という計算に意味はありません。有限端での恒等式が相殺を正当化します。
弧長の根号に$1\pm\sin x$や$1\pm\cos x$が残るなら、半角で平方へする候補があります。その後に平方根を外すときは絶対値が必要なので、新しい角の範囲で符号を確認します。半角自体が目的ではなく、根号を積分できる形へするための操作です。相殺される対数も同じ角で書いてから、有限な端でまとめます。

§28　速い振動と高冪の集中は、別の極限である

必要な履修：数学Ⅲ・積分法と極限、数学Ⅱ・三角関数

問題のどこを見るか

(1)は角が速く回り、(2)は重みが端へ寄ります。前者は一周期の平均、後者は端の値が候補です。どちらも点ごとの極限を積分へ機械的に入れる操作ではありません。

何を先に試すか

重みが固定で角だけ速く回るなら一周期平均、高冪の重みで固定関数を積分するなら端の集中を候補にします。どちらも誤差が消える証明が要り、点ごとの極限や見た目の振動だけでは代用できません。

方法を比べ、次の判断へ進む

三角関数の二乗なら定数成分と振動成分を分けられます。連続な周期関数でも、平均を引いた関数の原始関数は周期的で有界なので、積分区間が長くなったときの残差を評価できます。位相が$x^2$のように変数の一次式でない形なら、変数を位相へ移したときの重みも残ります。位相の導関数が零になる端を切り離してから有界な原始関数を使う、という順です。
例えば$h(x)=(1-x)^{-1/2}$では有界性と有限な端点値を失うため、(2)は適用できません。高冪の端点値が零なら、最初の極限だけでは高次の残差は分かりません。部分積分をして$n$をずらした同じ積分へ戻すなど、次の次数を取り出す操作が必要です。

角が変数の一次式でない場合で「平均」を証明する一例

$g(u)=|\sin u|-2/\pi$は周期$\pi$で、その一周期積分は零です。$G(u)=\int_0^ug(v)dv$は周期的で有界、例えば$|G(u)|\leq\pi$。$\int_0^T g(x^2)dx$を評価する際、$u=x^2$で全区間を替えると$1/(2\sqrt u)$が零で特異になります。そこで$[0,1]$は絶対値を直接$1$以下とし、残りだけを置換します。

§29　集中の幅と振動の幅が同じなら、端を拡大する

必要な履修：数学Ⅱ・三角関数、指数・対数関数、数学Ⅲ・微分法、積分法と極限

問題のどこを見るか

端点で余弦は$1$ですが、$h_n(x)=\cos(n(1-x))$は$n$で変化します。重みが大きいのは$1-x$が$1/n$程度の部分で、その幅の中でも角が定数程度変わります。両者を同時に見える大きさへするため$t=n(1-x)$を候補にします。

何を先に試すか

高冪の集中する幅と角が変わる幅が同じ程度なら、端の値だけでは情報が足りません。端からの距離を$n$倍して変化を残します。有限区間の極限と、その外の寄与を分けて評価する必要があります。

方法を比べ、次の判断へ進む

端点への集中は正しい観察ですが、その幅の中で被積分関数がほぼ一定かどうかが追加の判断です。振動の速さも$n$なので一定とはいえず、拡大した座標で余弦が残りました。これは「端点値を使う」という規則の適用条件を検査した結果です。
ここでは高度な積分と極限の交換定理を仮定せず、有限区間の誤差と無限側の上界を別々に示しています。

比較練習　三角関数から別の単元へ仕事を渡す

方法名を見ずに、最初に使う条件と、操作後に残る仕事を述べてから計算してください。

比較問題 (9)

必要な履修：数学Ⅱ・三角関数、数学A・場合の数と確率

比較問題 (10)

必要な履修：数学Ⅱ・三角関数、数学B・数列、整数の割り切りの知識

比較問題 (11)

必要な履修：数学Ⅱ・三角関数、数学Ⅲ・極限・微分積分

比較問題 (12)

必要な履修：数学Ⅱ・三角関数、数学B・数列、数学C・複素数平面

学んだ後に使う判断表

最初から全ての行を順番に試す表ではありません。具体例で理解した判断へ戻るための索引です。式だけでなく、問題が何を答えさせたいかを右側と照らしてください。