チェビシェフ多項式のいろいろ【工事中】

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あいさつ。

おひさーです。急にチェビシェフ多項式が気になったので色々調べて書いてみます。
急ピッチで建設してるんですが、なかなか進まないので一旦投稿してしまえ！ということで投稿しました。随時、目次や、内容を追加します。

更新履歴

1.2023/05/18 10:38 投稿
2.2023/05/23 14:21 チェビシェフ多項式の閉じた形について式の証明を追加
3.2023/05/23 21:37 チェビシェフ多項式一覧(0<=n<=10)を追加
4.2023/05/23 23:27 直交性の部分を若干追加+etc
5.2023/05/26 15:39 第二種チェビシェフ多項式についての公式などを追加
6.2023/06/19 11:28 直行性、特殊値の部分を若干追加

1.チェビシェフ多項式とは
2.チェビシェフ多項式の閉じた形
3.母関数について
4.チェビシェフ多項式一覧(0<=n<=10)
5.チェビシェフ多項式の直交性
6.チェビシェフ多項式の特殊値
7.チェビシェフ多項式が満たす微分方程式
8.にょー

チェビシェフ多項式とは

第一種チェビシェフ多項式(Chebyshev polynomials of the first kind)

$\cos n θ$ は $\cos θ$ の $n$ 次多項式で表せる。

この $n$ 次多項式を第一種チェビシェフ多項式といい、 $T_{n} (x)$ と表す。つまり $T_{n} (\cos θ) = \cos n θ$ である。

加法定理で帰納的に示す。

加法定理より、
$\begin{aligned} \cos (k + 1) θ & = \cos k θ \cos θ - \sin k θ \sin θ \\ \cos (k + 2) θ & = \cos k θ \cos 2 θ - \sin k θ \sin 2 θ \\ 第一式の両辺に 2 \cos θ をかけて \\ 2 \cos θ \cos (k + 1) θ & = 2 \cos k θ \cos^{2} θ - 2 \sin k θ \sin θ \cos θ \\ = 2 \cos k θ \cos^{2} θ - \sin k θ \sin 2 θ \\ 第二式と差をとって \\ \cos (k + 2) θ - 2 \cos θ \cos (k + 1) θ & = \cos k θ \cos 2 θ - 2 \cos k θ \cos^{2} θ \\ = (2 \cos^{2} θ - 1) \cos k θ - 2 \cos k θ \cos^{2} θ \\ = - \cos k θ \\ ∴ \cos (k + 2) θ & = 2 \cos θ \cos (k + 1) θ - \cos k θ \end{aligned}$

を得る。 $\cos 0 θ = 1, \cos 1 θ = \cos θ$ より $k$ について帰納的に、 $\cos k θ$ が $\cos θ$ の多項式であることが従う。

第一種チェビシェフ多項式の漸化式

上で得た漸化式を $T_{n}$ を用いて書くと、 $T_{n + 2} (\cos θ) = 2 \cos θ T_{n + 1} (\cos θ) - T_{n} (\cos θ)$
$x \in R$ についての式にすることで第一種チェビシェフ多項式の漸化式 $T_{n + 2} (x) = 2 x T_{n + 1} (x) - T_{n} (x)$ を得る。

第二種チェビシェフ多項式(Chebyshev polynomials of the second kind)

$\sin n θ$ は $\sin θ$ と $\cos θ$ の $n - 1$ 次多項式の積で表せる。

$U_{n - 1} (\cos θ) = \frac{\sin n θ}{\sin θ}$ を満たす $U_{n}$ を第二種チェビシェフ多項式という。

定理1の証明と同様である。

$\begin{aligned} \sin (k + 2) θ - 2 \cos θ \sin (k + 1) θ & = \sin k θ \cos 2 θ - 2 \sin k θ \cos^{2} θ \\ = - \sin k θ \\ ∴ \sin (k + 2) θ & = 2 \cos θ \sin (k + 1) θ - \sin k θ \end{aligned}$
を得る。 $\sin 0 θ = 0, \sin 1 θ = \sin θ$ より $k$ について帰納的に、 $\sin k θ$ が $\sin θ$ と $\cos θ$ の $n - 1$ 次多項式であることが従う。

第二種チェビシェフ多項式の漸化式

上で得た漸化式を $U_{n}$ を用いて書くと、 $U_{n + 2} (\cos θ) = 2 \cos θ U_{n + 1} (\cos θ) - U_{n} (\cos θ)$
$x \in R$ についての式にすることで第二種チェビシェフ多項式の漸化式 $U_{n + 2} (x) = 2 x U_{n + 1} (x) - U_{n} (x)$ を得る。

チェビシェフ多項式の閉じた形

第一種チェビシェフ多項式の閉じた形

$\begin{aligned} T_{n} (x) & = {\begin{aligned} \frac{1}{2} & [{(x + i \sqrt{1 - x^{2}})}^{n} + {(x - i \sqrt{1 - x^{2}})}^{n}] & for | x | \leq 1 \\ \frac{1}{2} & [{(x + \sqrt{x^{2} - 1})}^{n} + {(x - \sqrt{x^{2} - 1})}^{n}] & for | x | \geq 1 \end{aligned} \\ = {\begin{aligned} \cos (n \arccos x) & for & - 1 \leq x \leq 1 \\ \cosh (n arcosh x) & for & 1 \leq x \\ (- 1)^{n} \cosh (n arcosh (- x)) & for & x \leq - 1 \end{aligned} \end{aligned}$

第一式を示す。
ド・モアブルの定理を用いる。

$x = \cos θ$ と置くと
$\begin{aligned} T_{n} (x) + i \sin n θ & = (\cos θ + i \sin θ)^{n} = {(x + i \sqrt{1 - x^{2}})}^{n} \\ T_{n} (x) - i \sin n θ & = (\cos θ - i \sin θ)^{n} = {(x - i \sqrt{1 - x^{2}})}^{n} \end{aligned}$
より第一式
$T_{n} (x) = \frac{1}{2} [{(x + i \sqrt{1 - x^{2}})}^{n} + {(x - i \sqrt{1 - x^{2}})}^{n}] for | x | \leq 1$
を得る。

第二式を示す。

第一種チェビシェフ多項式の漸化式
$T_{n + 2} (x) = 2 x T_{n + 1} (x) - T_{n} (x)$ を用いて示す。

この三項間漸化式の特性方程式は
$t^{2} - 2 x t + 1 = 0$ となりその解は $t = x \pm \sqrt{x^{2} - 1}$
よってこの漸化式は次のように書ける。

$\begin{aligned} T_{n + 2} (x) - A T_{n + 1} (x) & = B (T_{n + 1} (x) - A T_{n} (x)) \\ T_{n + 2} (x) - B T_{n + 1} (x) & = A (T_{n + 1} (x) - B T_{n} (x)) \end{aligned}$
ただし、 $A = x + \sqrt{x^{2} - 1}, B = x - \sqrt{x^{2} - 1}$
よって上の式から $T_{n + 1} (x) - A T_{n} (x)$ は公比 $B$ の等比数列となる。
したがって、
$T_{n + 1} (x) - A T_{n} (x) = B^{n} (T_{1} (x) - A T_{0} (x)) = B^{n} (x - A) = - B^{n} \sqrt{x^{2} - 1}$
同様に下の式から
$T_{n + 1} (x) - B T_{n} (x) = A^{n} \sqrt{x^{2} - 1}$
この二式の差をとって
$A T_{n} (x) - B T_{n} (x) = A^{n} \sqrt{x^{2} - 1} + B^{n} \sqrt{x^{2} - 1}$
$2 \sqrt{x^{2} - 1} T_{n} (x) = \sqrt{x^{2} - 1} (A^{n} + B^{n})$

$T_{n} (x) = \frac{1}{2} [{(x + \sqrt{x^{2} - 1})}^{n} + {(x - \sqrt{x^{2} - 1})}^{n}]$
を得る。

第三式 $T_{n} (x) = \cos (n \arccos x) for - 1 \leq x \leq 1$
を示す。
逆関数の定義から明らかであるが、私自身の練習のためちょっとした証明を与える。

定義より、 $T_{n} (\cos θ) = \cos (n θ)$ である。
$\cos θ$ は $[0, π]$ から $[- 1, 1]$ へ全単射である。なので、
$\forall x \in [- 1, 1], \exists θ \in [0, π] (x = \cos θ)$ となる。
よって、この $x$ に対応する $θ$ を $\arccos x$ とかけば、
第三式 $T_{n} (x) = \cos (n \arccos x) for - 1 \leq x \leq 1$
を得る。

第四式 $T_{n} (x) = \cosh (n arcosh x) for 1 \leq x$

を示す。

$\cos (i θ) = \cosh (θ)$ より
$T_{n} (\cosh θ) = \cos (n i θ) = \cosh (n θ)$
また、 $\cosh θ$ はその定義
$\cosh θ = \frac{e^{θ} + e^{- θ}}{2}$ より
$[0, \infty) \to [1, \infty)$ で全単射である。
なので $\forall x \in [1, \infty), \exists θ \in [0, \infty) (x = \cosh θ)$ である。
この $x$ に対応する $θ$ を $arcosh x$ とかくと、

第四式 $T_{n} (x) = \cosh (n arcosh x) for 1 \leq x$
を得る。

第五式 $T_{n} (x) = (- 1)^{n} \cosh (n arcosh (- x)) for x \leq - 1$
を示す。

$T_{n} (- x) = (- 1)^{n} T_{n} (x)$ (チェビシェフ多項式の特殊値を参照)と第四式より

第五式 $T_{n} (x) = (- 1)^{n} \cosh (n arcosh (- x)) for x \leq - 1$
を得る。

第二種チェビシェフ多項式の閉じた形

$\begin{array}{r} U_{n} (x) = {\begin{aligned} \frac{1}{2 i \sqrt{1 - x^{2}}} & [{(x + i \sqrt{1 - x^{2}})}^{n + 1} - {(x - i \sqrt{1 - x^{2}})}^{n + 1}] & for | x | \leq 1 \\ \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} - 1}} & [{(x + \sqrt{x^{2} - 1})}^{n + 1} - {(x - \sqrt{x^{2} - 1})}^{n + 1}] & for | x | \geq 1 \end{aligned} \end{array}$

公式3の証明と同様である。

$T_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{⌊ n / 2 ⌋} (\binom{n}{2 k}) (x^{2} - 1)^{k} x^{n - 2 k} = n \sum_{k = 0}^{n} (- 2)^{k} \frac{(n - k - 1)!}{(n - k)! (2 k)!} (1 - x)^{k} =_{2} F_{1} (- n, n; 1 / 2; (1 - x) / 2)$

$_{2} F_{1}$ はガウスの超幾何関数でPochhammer記号 $(・)_{n}$ を用いて

_{2} F_{1} (a, b; c; z) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a)_{n} (b)_{n}}{(c)_{n}} \frac{z^{n}}{n!}

と定義され、

a, b

どちらかが負の時

_{2} F_{1}

は有限和で

_{2} F_{1} (- m, b; c; z) = \sum_{n = 0}^{m} (- 1)^{n} (\binom{m}{n}) \frac{(b)_{n}}{(c)_{n}} z^{n}

$T_{n} (\cos θ) + i \sin (n θ) = (\cos θ + i \sin θ)^{n}$
二項定理より、
$\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (i \sin θ)^{k} (\cos θ)^{n - k}$
$k : odd$ ならば虚数となるので $k : even$ の時だけ考えればよい
従って、
$\sum_{k = 0}^{⌊ n / 2 ⌋} (\binom{n}{2 k}) (- \sin^{2} θ)^{k} (\cos θ)^{n - 2 k}$
$x = \cos θ$ とおけば
$= \sum_{k = 0}^{⌊ n / 2 ⌋} (\binom{n}{2 k}) (x^{2} - 1)^{k} x^{n - 2 k}$

$\begin{aligned} T_{n} (x) & = \sum_{k = 0}^{⌊ n / 2 ⌋} (\binom{n}{2 k}) (x^{2} - 1)^{k} x^{n - 2 k} \\ = x^{n} \sum_{k = 0}^{⌊ n / 2 ⌋} (\binom{n}{2 k}) (1 - x^{- 2})^{k} \\ = \frac{n}{2} \sum_{k = 0}^{⌊ n / 2 ⌋} (- 1)^{k} \frac{(n - k - 1)!}{k! (n - 2 k)!} (2 x)^{n - 2 k} & for n > 0 \\ = n \sum_{k = 0}^{n} (- 2)^{k} \frac{(n + k - 1)!}{(n - k)! (2 k)!} (1 - x)^{k} & for n > 0 \\ =_{2} F_{1} (- n, n; 1 / 2; (1 - x) / 2) \end{aligned}$

$U_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{⌊ n / 2 ⌋} (- 1)^{k} (\binom{n - k}{k}) (2 x)^{n - 2 k} for n > 0$

母関数について

通常型母関数

$F (t) := \sum_{n = 0}^{\infty} T_{n} (x) t^{n} = T_{0} (x) + T_{1} (x) t + T_{2} (x) t^{2} + \dots$
とする。
$\begin{array}{cc} F (t) & = & T_{0} (x) & + & T_{1} (x) t & + & T_{2} (x) t^{2} & + & T_{3} (x) t^{3} & + & \dots \\ - 2 x t F (t) & = & - 2 x T_{0} (x) t & + & - 2 x T_{1} (x) t^{2} & + & - 2 x T_{2} (x) t^{3} & + & \dots \\ t^{2} F (t) & = & T_{0} (x) t^{2} & + & T_{1} (x) t^{3} & + & \dots \end{array}$
三つの式を足して
$(1 - 2 x t + t^{2}) F (t) = T_{0} (x) + (T_{1} (x) - 2 x T_{0} (x)) t + (T_{2} (x) - 2 x T_{1} (x) + T_{0} (x)) t^{2} + (T_{3} (x) - 2 x T_{2} (x) + T_{1} (x)) t^{3} + \dots$
となる。ここで $T_{n}$ の漸化式を用いると、 $t^{2}$ 以上の項が $0$ となり、
$\begin{aligned} (1 - 2 x t + t^{2}) F (t) & = T_{0} (x) + (T_{1} (x) - 2 x T_{0} (x)) t \\ = 1 - t x \end{aligned}$
よって、次の公式を得る。

第一種チェビシェフ多項式の通常型母関数

$\sum_{n = 0}^{\infty} T_{n} (x) t^{n} = \frac{1 - t x}{1 - 2 x t + t^{2}}$

$U_{n}$ も同様の漸化式なので
$(1 - 2 x t + t^{2}) F (t) = U_{0} (x) + (U_{1} (x) - 2 x U_{0} (x)) t$ である。また
$U_{0} (x) = 1, U_{1} (x) = 2 x$ より
$(1 - 2 x t + t^{2}) F (t) = 1$
よって、次の公式を得る。

第二種チェビシェフ多項式の通常型母関数

$\sum_{n = 0}^{\infty} U_{n} (x) t^{n} = \frac{1}{1 - 2 x t + t^{2}}$

指数型母関数

チェビシェフ多項式の閉じた形の式を用いると、
$\begin{aligned} \sum_{n = 0}^{\infty} T_{n} (x) \frac{t^{n}}{n!} & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{2} [{(x + \sqrt{x^{2} - 1})}^{n} + {(x - \sqrt{x^{2} - 1})}^{n}] \frac{t^{n}}{n!} \\ = \frac{1}{2} (\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} {(t (x + \sqrt{x^{2} - 1}))}^{n} + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} {(t (x - \sqrt{x^{2} - 1}))}^{n}) \\ = \frac{1}{2} (\exp (t (x + \sqrt{x^{2} - 1})) + \exp (t (x - \sqrt{x^{2} - 1}))) \\ = e^{x t} \frac{\exp (t \sqrt{x^{2} - 1}) + \exp (- t \sqrt{x^{2} - 1})}{2} \\ = e^{x t} \cosh (t \sqrt{x^{2} - 1}) \end{aligned}$
よって、次の公式を得る。

第一種チェビシェフ多項式の指数型母関数

$\begin{aligned} \sum_{n = 0}^{\infty} T_{n} (x) \frac{t^{n}}{n!} & = \frac{1}{2} (\exp (t (x + \sqrt{x^{2} - 1})) + \exp (t (x - \sqrt{x^{2} - 1}))) \\ = e^{x t} \cosh (t \sqrt{x^{2} - 1}) \end{aligned}$

第二種チェビシェフ多項式の指数型母関数

$\sum_{n = 0}^{\infty} U_{n} (x) \frac{t^{n}}{n!} = e^{x t} (\cosh (t \sqrt{x^{2} - 1}) + \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} \sinh (t \sqrt{x^{2} - 1}))$

証明は公式9と同様である。

チェビシェフ多項式一覧(0<=n<=10)

第一種チェビシェフ多項式

$\begin{aligned} T_{0} (x) & = 1 \\ T_{1} (x) & = x \\ T_{2} (x) & = 2 x^{2} - 1 \\ T_{3} (x) & = 4 x^{3} - 3 x \\ T_{4} (x) & = 8 x^{4} - 8 x^{2} + 1 \\ T_{5} (x) & = 16 x^{5} - 20 x^{3} + 5 x \\ T_{6} (x) & = 32 x^{6} - 48 x^{4} + 18 x^{2} - 1 \\ T_{7} (x) & = 64 x^{7} - 112 x^{5} + 56 x^{3} - 7 x \\ T_{8} (x) & = 128 x^{8} - 256 x^{6} + 160 x^{4} - 32 x^{2} + 1 \\ T_{9} (x) & = 256 x^{9} - 576 x^{7} + 432 x^{5} - 120 x^{3} + 9 x \\ T_{10} (x) & = 512 x^{10} - 1280 x^{8} + 1120 x^{6} - 400 x^{4} + 50 x^{2} - 1 \end{aligned}$

第二種チェビシェフ多項式

$\begin{aligned} U_{0} (x) & = 1 \\ U_{1} (x) & = 2 x \\ U_{2} (x) & = 4 x^{2} - 1 \\ U_{3} (x) & = 8 x^{3} - 4 x \\ U_{4} (x) & = 16 x^{4} - 12 x^{2} + 1 \\ U_{5} (x) & = 32 x^{5} - 32 x^{3} + 6 x \\ U_{6} (x) & = 64 x^{6} - 80 x^{4} + 24 x^{2} - 1 \\ U_{7} (x) & = 128 x^{7} - 192 x^{5} + 80 x^{3} - 8 x \\ U_{8} (x) & = 256 x^{8} - 448 x^{6} + 240 x^{4} - 40 x^{2} + 1 \\ U_{9} (x) & = 512 x^{9} - 1024 x^{7} + 672 x^{5} - 160 x^{3} + 10 x \\ U_{10} (x) & = 1024 x^{10} - 2304 x^{8} + 1792 x^{6} - 560 x^{4} + 60 x^{2} - 1 \end{aligned}$

チェビシェフ多項式の直交性

$T_{n}$ と $U_{n}$ は直交多項式である。
$T_{n}$ の重みは
$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ で区間 $[- 1, 1]$ つまり、
$\begin{array}{r} \int_{- 1}^{1} T_{n} (x) T_{m} (x) \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}} = {\begin{aligned} 0 & if & n \neq m \\ π & if & n = m = 0 \\ π / 2 & if & n = m \neq 0 \end{aligned} \end{array}$

$x = \cos θ$ とすれば、
$\int_{- 1}^{1} T_{n} (x) T_{m} (x) \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
$= \int_{0}^{π} \cos (n θ) \cos (m θ) d θ$
$= \frac{1}{2} \int_{0}^{π} (\cos (n + m) θ + \cos (n - m) θ) d θ$
$n \neq m$ のとき
$= \frac{1}{2} {[\frac{\sin (n + m) θ}{n + m} + \frac{\sin (n - m) θ}{n - m}]}_{0}^{π}$
$= 0$
$n = m = 0$ のとき
$= \int_{0}^{π} d θ$
$= π$
$n = m \neq 0$ のとき
$= \frac{1}{2} \int_{0}^{π} (\cos (2 n θ) + 1) d θ$
$= \frac{1}{2} {[\frac{\sin (2 n θ)}{2 n}]}_{0}^{π} + \frac{π}{2}$
$= \frac{π}{2}$

$U_{n}$ の重みは
$\sqrt{1 - x^{2}}$ で区間は $[- 1, 1]$ つまり、
$\begin{array}{r} \int_{- 1}^{1} U_{n} (x) U_{m} (x) \sqrt{1 - x^{2}} d x = {\begin{aligned} 0 & if n \neq m \\ π / 2 & if n = m \end{aligned} \end{array}$

上の証明と同様に $x = \cos θ$ で置換すればよい。

チェビシェフ多項式の特殊値

$\begin{aligned} T_{n} (- x) = (- 1)^{n} T_{n} (x) \\ U_{n} (- x) = (- 1)^{n} U_{n} (x) \\ T_{n} (1) = 1 \\ T_{n} (- 1) = (- 1)^{n} \\ U_{n} (1) = n + 1 \\ U_{n} (- 1) = (- 1)^{n} (n + 1) \end{aligned}$