おひさーです。急にチェビシェフ多項式が気になったので色々調べて書いてみます。
急ピッチで建設してるんですが、なかなか進まないので一旦投稿してしまえ!ということで投稿しました。随時、目次や、内容を追加します。
1.2023/05/18 10:38 投稿
2.2023/05/23 14:21 チェビシェフ多項式の閉じた形について式の証明を追加
3.2023/05/23 21:37 チェビシェフ多項式一覧(0<=n<=10)を追加
4.2023/05/23 23:27 直交性の部分を若干追加+etc
5.2023/05/26 15:39 第二種チェビシェフ多項式についての公式などを追加
6.2023/06/19 11:28 直行性、特殊値の部分を若干追加
1.チェビシェフ多項式とは
2.チェビシェフ多項式の閉じた形
3.母関数について
4.チェビシェフ多項式一覧(0<=n<=10)
5.チェビシェフ多項式の直交性
6.チェビシェフ多項式の特殊値
7.チェビシェフ多項式が満たす微分方程式
8.にょー
この
加法定理より、
を得る。
上で得た漸化式を
を得る。
上で得た漸化式を
第一式を示す。
ド・モアブルの定理を用いる。
より第一式
を得る。
第二式を示す。
第一種チェビシェフ多項式の漸化式
この三項間漸化式の特性方程式は
よってこの漸化式は次のように書ける。
ただし、
よって上の式から
したがって、
同様に下の式から
この二式の差をとって
を得る。
第三式
を示す。
逆関数の定義から明らかであるが、私自身の練習のためちょっとした証明を与える。
定義より、
よって、この
第三式
を得る。
第四式
を示す。
また、
なので
この
第四式
を得る。
第五式
を示す。
第五式
を得る。
公式3の証明と同様である。
二項定理より、
従って、
とする。
三つの式を足して
となる。ここで
よって、次の公式を得る。
よって、次の公式を得る。
チェビシェフ多項式の閉じた形の式を用いると、
よって、次の公式を得る。
証明は公式9と同様である。
上の証明と同様に
公式5や公式6を用いればよい。