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チェビシェフ多項式のいろいろ【工事中】

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あいさつ。

おひさーです。急にチェビシェフ多項式が気になったので色々調べて書いてみます。
急ピッチで建設してるんですが、なかなか進まないので一旦投稿してしまえ!ということで投稿しました。随時、目次や、内容を追加します。

更新履歴

1.2023/05/18 10:38 投稿
2.2023/05/23 14:21 チェビシェフ多項式の閉じた形について式の証明を追加
3.2023/05/23 21:37 チェビシェフ多項式一覧(0<=n<=10)を追加
4.2023/05/23 23:27 直交性の部分を若干追加+etc
5.2023/05/26 15:39 第二種チェビシェフ多項式についての公式などを追加
6.2023/06/19 11:28 直行性、特殊値の部分を若干追加

目次

1.チェビシェフ多項式とは
2.チェビシェフ多項式の閉じた形
3.母関数について
4.チェビシェフ多項式一覧(0<=n<=10)
5.チェビシェフ多項式の直交性
6.チェビシェフ多項式の特殊値
7.チェビシェフ多項式が満たす微分方程式
8.にょー

チェビシェフ多項式とは

第一種チェビシェフ多項式(Chebyshev polynomials of the first kind)

cosnθcosθn次多項式で表せる。

このn次多項式を第一種チェビシェフ多項式といい、Tn(x)と表す。つまりTn(cosθ)=cosnθである。

加法定理で帰納的に示す。

加法定理より、
cos(k+1)θ=coskθcosθsinkθsinθcos(k+2)θ=coskθcos2θsinkθsin2θ2cosθ2cosθcos(k+1)θ=2coskθcos2θ2sinkθsinθcosθ=2coskθcos2θsinkθsin2θcos(k+2)θ2cosθcos(k+1)θ=coskθcos2θ2coskθcos2θ=(2cos2θ1)coskθ2coskθcos2θ=coskθcos(k+2)θ=2cosθcos(k+1)θcoskθ

を得る。cos0θ=1,cos1θ=cosθよりkについて帰納的に、coskθcosθの多項式であることが従う。

第一種チェビシェフ多項式の漸化式

上で得た漸化式をTnを用いて書くと、Tn+2(cosθ)=2cosθTn+1(cosθ)Tn(cosθ)
xRについての式にすることで第一種チェビシェフ多項式の漸化式Tn+2(x)=2xTn+1(x)Tn(x)を得る。

第二種チェビシェフ多項式(Chebyshev polynomials of the second kind)

sinnθsinθcosθn1次多項式の積で表せる。

Un1(cosθ)=sinnθsinθを満たすUnを第二種チェビシェフ多項式という。

定理1の証明と同様である。

sin(k+2)θ2cosθsin(k+1)θ=sinkθcos2θ2sinkθcos2θ=sinkθsin(k+2)θ=2cosθsin(k+1)θsinkθ
を得る。sin0θ=0,sin1θ=sinθよりkについて帰納的に、sinkθsinθcosθn1次多項式であることが従う。

第二種チェビシェフ多項式の漸化式

上で得た漸化式をUnを用いて書くと、Un+2(cosθ)=2cosθUn+1(cosθ)Un(cosθ)
xRについての式にすることで第二種チェビシェフ多項式の漸化式Un+2(x)=2xUn+1(x)Un(x)を得る。

チェビシェフ多項式の閉じた形

第一種チェビシェフ多項式の閉じた形

Tn(x)={12[(x+i1x2)n+(xi1x2)n]for|x|112[(x+x21)n+(xx21)n]for|x|1={cos(narccosx)for1x1cosh(n arcosh x)for1x(1)ncosh(n arcosh(x))forx1

第一式を示す。
ド・モアブルの定理を用いる。

x=cosθと置くと
Tn(x)+isinnθ=(cosθ+isinθ)n=(x+i1x2)nTn(x)isinnθ=(cosθisinθ)n=(xi1x2)n
より第一式
Tn(x)=12[(x+i1x2)n+(xi1x2)n]for|x|1
を得る。

第二式を示す。

第一種チェビシェフ多項式の漸化式
Tn+2(x)=2xTn+1(x)Tn(x)を用いて示す。

この三項間漸化式の特性方程式は
t22xt+1=0となりその解はt=x±x21
よってこの漸化式は次のように書ける。

Tn+2(x)ATn+1(x)=B(Tn+1(x)ATn(x))Tn+2(x)BTn+1(x)=A(Tn+1(x)BTn(x))
ただし、A=x+x21,B=xx21
よって上の式からTn+1(x)ATn(x)は公比Bの等比数列となる。
したがって、
Tn+1(x)ATn(x)=Bn(T1(x)AT0(x))=Bn(xA)=Bnx21
同様に下の式から
Tn+1(x)BTn(x)=Anx21
この二式の差をとって
ATn(x)BTn(x)=Anx21+Bnx21
2x21Tn(x)=x21(An+Bn)

Tn(x)=12[(x+x21)n+(xx21)n]
を得る。

第三式Tn(x)=cos(narccosx)for1x1
を示す。
逆関数の定義から明らかであるが、私自身の練習のためちょっとした証明を与える。

定義より、Tn(cosθ)=cos(nθ)である。
cosθ[0,π]から[1,1]へ全単射である。なので、
x[1,1],θ[0,π](x=cosθ)となる。
よって、このxに対応するθarccosxとかけば、
第三式Tn(x)=cos(narccosx)for1x1
を得る。

第四式Tn(x)=cosh(n arcosh x)for1x

を示す。

cos(iθ)=cosh(θ)より
Tn(coshθ)=cos(niθ)=cosh(nθ)
また、coshθはその定義
coshθ=eθ+eθ2より
[0,)[1,)で全単射である。
なのでx[1,),θ[0,)(x=coshθ)である。
このxに対応するθarcosh xとかくと、

第四式Tn(x)=cosh(n arcosh x)for1x
を得る。

第五式Tn(x)=(1)ncosh(n arcosh(x))forx1
を示す。

Tn(x)=(1)nTn(x)(チェビシェフ多項式の特殊値を参照)と第四式より

第五式Tn(x)=(1)ncosh(n arcosh(x))forx1
を得る。

第二種チェビシェフ多項式の閉じた形

Un(x)={12i1x2[(x+i1x2)n+1(xi1x2)n+1]for|x|112x21[(x+x21)n+1(xx21)n+1]for|x|1

公式3の証明と同様である。

Tn(x)=k=0n/2(n2k)(x21)kxn2k=nk=0n(2)k(nk1)!(nk)!(2k)!(1x)k=2F1(n,n;1/2;(1x)/2)

2F1はガウスの超幾何関数でPochhammer記号()nを用いて


2F1(a,b;c;z)=n=0(a)n(b)n(c)nznn!

と定義され、a,bどちらかが負の時2F1は有限和で

2F1(m,b;c;z)=n=0m(1)n(mn)(b)n(c)nzn

Tn(cosθ)+isin(nθ)=(cosθ+isinθ)n
二項定理より、
k=0n(nk)(isinθ)k(cosθ)nk
k:oddならば虚数となるのでk:evenの時だけ考えればよい
従って、
k=0n/2(n2k)(sin2θ)k(cosθ)n2k
x=cosθとおけば
=k=0n/2(n2k)(x21)kxn2k

Tn(x)=k=0n/2(n2k)(x21)kxn2k=xnk=0n/2(n2k)(1x2)k=n2k=0n/2(1)k(nk1)!k!(n2k)!(2x)n2kfor n>0=nk=0n(2)k(n+k1)!(nk)!(2k)!(1x)kfor n>0=2F1(n,n;1/2;(1x)/2)

Un(x)=k=0n/2(1)k(nkk)(2x)n2kforn>0

母関数について

通常型母関数

F(t):=n=0Tn(x)tn=T0(x)+T1(x)t+T2(x)t2+
とする。
F(t)=T0(x)+T1(x)t+T2(x)t2+T3(x)t3+2xtF(t)=2xT0(x)t+2xT1(x)t2+2xT2(x)t3+t2F(t)=T0(x)t2+T1(x)t3+
三つの式を足して
(12xt+t2)F(t)=T0(x)+(T1(x)2xT0(x))t+(T2(x)2xT1(x)+T0(x))t2+(T3(x)2xT2(x)+T1(x))t3+
となる。ここでTnの漸化式を用いると、t2以上の項が0となり、
(12xt+t2)F(t)=T0(x)+(T1(x)2xT0(x))t=1tx
よって、次の公式を得る。

第一種チェビシェフ多項式の通常型母関数

n=0Tn(x)tn=1tx12xt+t2

Unも同様の漸化式なので
(12xt+t2)F(t)=U0(x)+(U1(x)2xU0(x))tである。また
U0(x)=1,U1(x)=2xより
(12xt+t2)F(t)=1
よって、次の公式を得る。

第二種チェビシェフ多項式の通常型母関数

n=0Un(x)tn=112xt+t2

指数型母関数

チェビシェフ多項式の閉じた形の式を用いると、
n=0Tn(x)tnn!=n=012[(x+x21)n+(xx21)n]tnn!=12(n=01n!(t(x+x21))n+n=01n!(t(xx21))n)=12(exp(t(x+x21))+exp(t(xx21)))=extexp(tx21)+exp(tx21)2=extcosh(tx21)
よって、次の公式を得る。

第一種チェビシェフ多項式の指数型母関数

n=0Tn(x)tnn!=12(exp(t(x+x21))+exp(t(xx21)))=extcosh(tx21)

第二種チェビシェフ多項式の指数型母関数

n=0Un(x)tnn!=ext(cosh(tx21)+xx21sinh(tx21))

証明は公式9と同様である。

チェビシェフ多項式一覧(0<=n<=10)

第一種チェビシェフ多項式

T0(x)=1T1(x)=xT2(x)=2x21T3(x)=4x33xT4(x)=8x48x2+1T5(x)=16x520x3+5xT6(x)=32x648x4+18x21T7(x)=64x7112x5+56x37xT8(x)=128x8256x6+160x432x2+1T9(x)=256x9576x7+432x5120x3+9xT10(x)=512x101280x8+1120x6400x4+50x21

第二種チェビシェフ多項式

U0(x)=1U1(x)=2xU2(x)=4x21U3(x)=8x34xU4(x)=16x412x2+1U5(x)=32x532x3+6xU6(x)=64x680x4+24x21U7(x)=128x7192x5+80x38xU8(x)=256x8448x6+240x440x2+1U9(x)=512x91024x7+672x5160x3+10xU10(x)=1024x102304x8+1792x6560x4+60x21

チェビシェフ多項式の直交性

TnUnは直交多項式である。
Tnの重みは
11x2で区間[1,1]つまり、
11Tn(x)Tm(x)dx1x2={0ifnmπifn=m=0π/2ifn=m0

x=cosθとすれば、
11Tn(x)Tm(x)dx1x2
=0πcos(nθ)cos(mθ)dθ
=120π(cos(n+m)θ+cos(nm)θ)dθ
nmのとき
=12[sin(n+m)θn+m+sin(nm)θnm]0π
=0
n=m=0のとき
=0πdθ
=π
n=m0のとき
=120π(cos(2nθ)+1)dθ
=12[sin(2nθ)2n]0π+π2
=π2

Unの重みは
1x2で区間は[1,1]つまり、
11Un(x)Um(x)1x2dx={0ifnmπ/2ifn=m

上の証明と同様にx=cosθで置換すればよい。

チェビシェフ多項式の特殊値

Tn(x)=(1)nTn(x)Un(x)=(1)nUn(x)Tn(1)=1Tn(1)=(1)nUn(1)=n+1Un(1)=(1)n(n+1)

公式5や公式6を用いればよい。

チェビシェフ多項式が満たす微分方程式

投稿日:2023518
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