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Andrews-Lewis-Liuの恒等式

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$⟨ a; q ⟩_{\infty} := (a, q / a; q)_{\infty}, ⟨ a_{1}, \dots, a_{r} ⟩_{\infty} := ⟨ a_{1} ⟩_{\infty} \dots ⟨ a_{r} ⟩_{\infty}$ とする. 次は非常に興味深い等式である.

Andrews-Lewis-Liu(2001)

$\begin{aligned} \frac{⟨ a b, a c, b c; q ⟩_{\infty} (q; q)_{\infty}^{2}}{⟨ a, b, c, a b c; q ⟩_{\infty}} & = 1 + \sum_{0 \leq n} \frac{a q^{n}}{1 - a q^{n}} - \sum_{0 < n} \frac{q^{n} / a}{1 - q^{n} / a} \\ + \sum_{0 \leq n} \frac{b q^{n}}{1 - b q^{n}} - \sum_{0 < n} \frac{q^{n} / b}{1 - q^{n} / b} \\ + \sum_{0 \leq n} \frac{c q^{n}}{1 - c q^{n}} - \sum_{0 < n} \frac{q^{n} / c}{1 - q^{n} / c} \\ - \sum_{0 \leq n} \frac{a b c q^{n}}{1 - a b c q^{n}} + \sum_{0 < n} \frac{q^{n} / a b c}{1 - q^{n} / a b c} \end{aligned}$

等式
$\begin{aligned} 1 + \frac{a}{1 - a} + \frac{b}{1 - b} + \frac{c}{1 - c} - \frac{a b c}{1 - a b c} & = \frac{(1 - a b) (1 - a c) (1 - b c)}{(1 - a) (1 - b) (1 - c) (1 - a b c)} \end{aligned}$
が成り立つことを用いると, 右辺は
$\begin{aligned} 1 + \frac{a}{1 - a} + \frac{b}{1 - b} + \frac{c}{1 - c} - \frac{a b c}{1 - a b c} \\ + \sum_{0 < n} (\frac{a q^{n}}{1 - a q^{n}} + \frac{b q^{n}}{1 - b q^{n}} - \frac{q^{n} / c}{1 - q^{n} / c} - \frac{a b c q^{n}}{1 - a b c q^{n}}) \\ + \sum_{0 < n} (- \frac{q^{n} / a}{1 - q^{n} / a} - \frac{q^{n} / b}{1 - q^{n} / b} + \frac{c q^{n}}{1 - c q^{n}} - \frac{q^{n} / a b c}{1 - q^{n} / a b c}) \\ = \frac{(1 - b c) (1 - a c) (1 - a b)}{(1 - a) (1 - b) (1 - c) (1 - a b c)} + \sum_{0 < n} \frac{(1 - a b q^{2 n}) (1 - a c) (1 - b c)}{(1 - a q^{n}) (1 - b q^{n}) (1 - c q^{- n}) (1 - a b c q^{n})} \\ + \sum_{n < 0} \frac{(1 - a b q^{2 n}) (1 - a c) (1 - b c)}{(1 - a q^{n}) (1 - b q^{n}) (1 - c q^{- n}) (1 - a b c q^{n})} \\ = - \frac{(1 - a c) (1 - b c)}{c} \sum_{n \in Z} \frac{1 - a b q^{2 n}}{(1 - a q^{n}) (1 - b q^{n}) (1 - q^{n} / c) (1 - a b c q^{n})} q^{n} \\ = \frac{(1 - a b) (1 - a c) (1 - b c)}{(1 - a) (1 - b) (1 - c) (1 - a b c)}_{6} ψ_{6} [\begin{array}{c} \sqrt{a b} q, - \sqrt{a b} q, a, b, 1 / c, a b c \\ a q, b q, q / c, a b c q \end{array}; q] \end{aligned}$
ここで, Baileyの $_{6} ψ_{6}$ 和公式より,
$\begin{aligned} _{6} ψ_{6} [\begin{array}{c} \sqrt{a b} q, - \sqrt{a b} q, a, b, 1 / c, a b c \\ a q, b q, q / c, a b c q \end{array}; q] & = \frac{(a b q, q, a c q, b c q, q / a c, q / b c, q, q / a b; q)_{\infty}}{(a q, b q, q / c, a b c q, q / a, q / b, c q, q / a b c; q)_{\infty}} \end{aligned}$
であるから, これを代入して定理を得る.

定理1から様々な系を得ることができる.

$\begin{aligned} \sum_{n, m \in Z} q^{m^{2} + n^{2}} & = 1 + 4 \sum_{0 \leq n} (\frac{q^{4 n + 1}}{1 - q^{4 n + 1}} - \frac{q^{4 n + 3}}{1 - q^{4 n + 3}}) \end{aligned}$

定理1において $q \mapsto q^{4}$ としてから $a = b = c = q$ とすると, Jacobiの三重積より,
$\begin{aligned} 1 + 4 \sum_{0 \leq n} (\frac{q^{4 n + 1}}{1 - q^{4 n + 1}} - \frac{q^{4 n + 3}}{1 - q^{4 n + 3}}) & = \frac{⟨ q^{2}, q^{2}, q^{2}; q^{4} ⟩ (q^{4}; q^{4})_{\infty}^{2}}{⟨ q, q, q, q^{3}; q^{4} ⟩_{\infty}} \\ = \frac{(q^{2}; q^{4})_{\infty}^{4} (q^{2}; q^{2})_{\infty}^{2}}{(q; q^{2})_{\infty}^{4}} \\ = (- q; q^{2})_{\infty}^{4} (q^{2}; q^{2})_{\infty}^{2} \\ = \sum_{n, m \in Z} q^{n^{2} + m^{2}} \end{aligned}$
と示される.

$q \mapsto q^{8}$ としてから $a = b = q, c = q^{3}$ として, 以下を得る.

$\begin{aligned} \sum_{n, m \in Z} q^{n^{2} + 2 m^{2}} & = 1 + 2 \sum_{0 \leq n} (\frac{q^{8 n + 1}}{1 - q^{8 n + 1}} + \frac{q^{8 n + 3}}{1 - q^{8 n + 3}} - \frac{q^{8 n + 5}}{1 - q^{8 n + 5}} - \frac{q^{8 n + 7}}{1 - q^{8 n + 7}}) \end{aligned}$

上のような結果の他にも, Andrews-Lewis-Liuの論文では, この等式の応用として, 二平方和, 四平方和, 六平方和, 八平方和に関する定理が導出されている.

参考文献

[1]

George E. Andrews, Richard Lewis, Zhi-Guo Liu, An identity relating a theta function to a sum of Lambert series., Bull. London Math. Soc., 2001, 25-31

投稿日：2月26日