Andrews-Lewis-Liuの恒等式
$\langle a;q\rangle_{\infty}:=(a,q/a;q)_{\infty}, \langle a_1,\dots,a_r\rangle_{\infty}:=\langle a_1\rangle_{\infty}\cdots\langle a_r\rangle_{\infty}$とする. 次は非常に興味深い等式である.
\begin{align} \frac{\langle ab,ac,bc;q\rangle_{\infty}(q;q)_{\infty}^2}{\langle a,b,c,abc;q\rangle_{\infty}}&=1+\sum_{0\leq n}\frac{aq^n}{1-aq^n}-\sum_{0< n}\frac{q^n/a}{1-q^n/a}\\ &\qquad+\sum_{0\leq n}\frac{bq^n}{1-bq^n}-\sum_{0< n}\frac{q^n/b}{1-q^n/b}\\ &\qquad+\sum_{0\leq n}\frac{cq^n}{1-cq^n}-\sum_{0< n}\frac{q^n/c}{1-q^n/c}\\ &\qquad-\sum_{0\leq n}\frac{abcq^n}{1-abcq^n}+\sum_{0< n}\frac{q^n/abc}{1-q^n/abc} \end{align}
等式
\begin{align}
1+\frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}-\frac{abc}{1-abc}&=\frac{(1-ab)(1-ac)(1-bc)}{(1-a)(1-b)(1-c)(1-abc)}
\end{align}
が成り立つことを用いると, 右辺は
\begin{align}
&1+\frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}-\frac{abc}{1-abc}\\
&+\sum_{0< n}\left(\frac{aq^n}{1-aq^n}+\frac{bq^n}{1-bq^n}-\frac{q^n/c}{1-q^n/c}-\frac{abcq^n}{1-abcq^n}\right)\\
&+\sum_{0< n}\left(-\frac{q^n/a}{1-q^n/a}-\frac{q^n/b}{1-q^n/b}+\frac{cq^n}{1-cq^n}-\frac{q^n/abc}{1-q^n/abc}\right)\\
&=\frac{(1-bc)(1-ac)(1-ab)}{(1-a)(1-b)(1-c)(1-abc)}+\sum_{0< n}\frac{(1-abq^{2n})(1-ac)(1-bc)}{(1-aq^n)(1-bq^n)(1-cq^{-n})(1-abcq^n)}\\
&+\sum_{n<0}\frac{(1-abq^{2n})(1-ac)(1-bc)}{(1-aq^n)(1-bq^n)(1-cq^{-n})(1-abcq^n)}\\
&=-\frac{(1-ac)(1-bc)}c\sum_{n\in\ZZ}\frac{1-abq^{2n}}{(1-aq^n)(1-bq^n)(1-q^n/c)(1-abcq^n)}q^n\\
&=\frac{(1-ab)(1-ac)(1-bc)}{(1-a)(1-b)(1-c)(1-abc)}\BQ66{\sqrt{ab}q,-\sqrt{ab}q,a,b,1/c,abc}{aq,bq,q/c,abcq}{q}
\end{align}
ここで, Baileyの${}_6\psi_6$和公式より,
\begin{align}
\BQ66{\sqrt{ab}q,-\sqrt{ab}q,a,b,1/c,abc}{aq,bq,q/c,abcq}{q}&=\frac{(abq,q,acq,bcq,q/ac,q/bc,q,q/ab;q)_{\infty}}{(aq,bq,q/c,abcq,q/a,q/b,cq,q/abc;q)_{\infty}}
\end{align}
であるから, これを代入して定理を得る.
定理1から様々な系を得ることができる.
\begin{align} \sum_{n,m\in\ZZ}q^{m^2+n^2}&=1+4\sum_{0\leq n}\left(\frac{q^{4n+1}}{1-q^{4n+1}}-\frac{q^{4n+3}}{1-q^{4n+3}}\right) \end{align}
定理1において$q\mapsto q^4$としてから$a=b=c=q$とすると, Jacobiの三重積より,
\begin{align}
1+4\sum_{0\leq n}\left(\frac{q^{4n+1}}{1-q^{4n+1}}-\frac{q^{4n+3}}{1-q^{4n+3}}\right)&=\frac{\langle q^2,q^2,q^2;q^4\rangle (q^4;q^4)_{\infty}^2}{\langle q,q,q,q^3;q^4\rangle _{\infty}}\\
&=\frac{(q^2;q^4)_{\infty}^4(q^2;q^2)_{\infty}^2}{(q;q^2)_{\infty}^4}\\
&=(-q;q^2)_{\infty}^4(q^2;q^2)_{\infty}^2\\
&=\sum_{n,m\in\ZZ}q^{n^2+m^2}
\end{align}
と示される.
$q\mapsto q^8$としてから$a=b=q, c=q^3$として, 以下を得る.
\begin{align} \sum_{n,m\in\ZZ}q^{n^2+2m^2}&=1+2\sum_{0\leq n}\left(\frac{q^{8n+1}}{1-q^{8n+1}}+\frac{q^{8n+3}}{1-q^{8n+3}}-\frac{q^{8n+5}}{1-q^{8n+5}}-\frac{q^{8n+7}}{1-q^{8n+7}}\right) \end{align}
上のような結果の他にも, Andrews-Lewis-Liuの論文では, この等式の応用として, 二平方和, 四平方和, 六平方和, 八平方和に関する定理が導出されている.
