Hirsch 微分トポロジーの問題1.2.7 2次形式多様体、1.2.8 星形開集合、1.2.9
$Q$を$\mathbb R^n$の正定値2次形式とする。このとき、任意の$y>0$に対して、$Q^{-1}(y)$は球面$S^{n-1}$と微分同相である。
一瞬？？？となるけれども、$Q^{-1}(y)$が楕円体になることを思い出せば、そりゃあそうかと納得する問題でもありますね。
証明方法も、楕円体を半径が適当な球面にまず写して、それを半径1に直せば良いというルートがスッと出てきます。(これまでの問題が難しすぎて、本当にこれで良いのかと戦々恐々としてしまう…)
シスト、これ、詐欺じゃないよな？？？
条件より、$Q$はある正定値対称行列$A$を用いて$Q(x)={}^txAx$と表されている。このとき、$A$の正定値性から$A^{\pm1/2}$が存在し、これは滑らかな変換である。(例えば、$F(B,A)=B^2-A=0$として陰関数定理を使ったりすれば確認できる。)
いま、$f:Q^{-1}(y)\to S^{n-1}$を、$f(x)=(1/\sqrt y ) A^{1/2}x$で定めると、これは上の注意より滑らか。
また、$g: S^{n-1}\to Q^{-1}(y)$を$g(x)=\sqrt y A^{-1/2}x$で定めると、これはちょうど$f$の逆写像であり滑らかなので、$f$は微分同相写像である。
$\mathbb R^n$の空でない任意の星形開部分集合$S$は$\mathbb R^n$に$C^\infty$微分同相である。
なんかこれTuで見た事あるような…？そうでもないような…？仄かな記憶の残り香を感じる…！
位相空間論による結果から、任意の星形開集合$S$と$\mathbb R^n$は同相なので、これを与える写像を$h$とする。
これにより、$S$に$\mathbb R^n$から誘導される微分構造(すなわち、各チャートの座標関数は、$\mathbb R^n$の座標関数$\phi$に対して$\phi \circ h$となる。)を入れて、$S$を$C^\infty$多様体とする。
いま、$h$を座標関数で表すと、$\phi'\circ h\circ (\phi \circ h)^{-1}=\phi'\circ \phi^{-1} $であり、これは単に$\mathbb R^n$の標準的な微分構造の座標変換であるため$C^\infty$級である。
従って、これにより$S$は$\mathbb R^n$へ$C^\infty$微分同相である。
もし$S$に“標準的な”微分構造が入っている場合の証明を知っていたら、コメントで教えてください…。
多様体$M,N$の間の$C^r$級写像$ f:M\to N $が$ C^1 $級微分同相写像であるとき、$f $は$C^r $級微分同相写像である。
明らかに逆関数定理使ってねという問題なので、あやかって使います。
任意の$p\in M$に対して$p$のチャート$(U,\phi)$と$f(p)$のチャート$(V,\psi)$をとり、$f$をこのチャートで表現したもの$\psi\circ f \circ \phi^{-1}$を$F$と置く。
このとき、$F$は条件から$C^r$級かつ$C^1$微分同相であり、その微分$dF$は可逆。(可逆性は$F\circ F^{-1}$の微分を考えればすぐに従う。)
よって、逆関数定理により$F^{-1}$は$C^r$級であり
、従って$f^{-1}$は点$f(p)$で$C^r$級。
$p$は任意だったので、従って各点で$f^{-1}$は$C^r$級であるから、結局$f$は$C^r $級微分同相写像である。
