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放物線と格子点のお話

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放物線内を埋め尽くす!

y=fn(x)=nx2(nz,n0)x軸とで囲まれる領域とその領域の周によって作られる領域をDnとする。この時Dnに含まれる格子点を全て通るように軸がy軸と並行であるような二次関数を配置する時必要な二次関数の数のうち最も小さいものをFnとする。Fnを求めよ。
ただし格子点とはx座標とy座標がともに整数である点とする。

まず題意を満たす範囲にある格子点の数anを求める。
nx2=0となるのはx=±nとなるときなのでmn<m+1(mZ)なるmを用いてx=k(mkm)上の題意を満たす格子点は(x,y)=(k,0)(k,1)(k,2)(k,nk2)
の計nk2+1個なのでこれをmからmの範囲で足し合わせればよい。
y=nx2y軸で対称ゆえ
an=k=mmnk2+1=(n+1)+2k=1mnk2+1=(2m+1)(n+1)13m(m+1)(2m+1)
となり、特にn=m2の時
am2=13(2m+1)(2m2m+3)

実際にn=4(m=2)を代入してみればa4=15であり図1からもa4=15であることが伺える。
!FORMULA[28][36584035][0]の時 n=4の時

y=fn(x)=nx2(y0)上に存在する格子点の数をbnとした時an=k=0nbk

まず(当たり前だが)0i<jnを満たすi,j(Z)に対してy=fi(x)y=fj(x)が共有点を持たないことを示す。
fj(x)fi(x)=(jx2)(ix2)=ji(0)
よってfj(x)fi(x)0であるのでfi(x)fj(x)は共有点を持たない

次にfn(x)<y<fn+1(x)y0を満たす範囲に有利点が存在しないことを示す。
もしを満たす範囲に格子点が存在するならばその点のx座標はn+1xn+1xz
を必ず満たす。しかしを満たすkを用意してx=k上でを満たす点について調べるとfn(k)=nk2,fn+1(k)=n+1k2でありnk2<y<n+1k2を満たす整数yが存在しない。
故にを満たす範囲に格子点は存在しない
,よりDnには含まれるがDn1には含まれないような点は全てy=fn(x)y0上に存在するこのような点の個数はまさにbnであるのでanbnについて次のような漸化式がもとまり
an=an1+bnan=a0+k=1nbk
また、a0=b0より
an=b0+k=1nbk=k=0nbk
補題1は示された

グラフを実際に眺めてみると感覚的にもわかりやすい!
!FORMULA[66][36584035][0]の場合 n=4の場合

補題1より次のことがわかる

Fn上からの評価

Fnn+1

補題1よりn+1個の放物線によってDnに含まれる格子点を全て通ることができるのでFnn+1となり、補題2は示された

Fn下からの評価

n+1Fn

用意した二次関数がDn上の格子点を全て通るにはDnx=0すなわちDny軸上の格子点を全て通る二次関数が用意した二次関数の中に存在することが必要である。
軸がy軸と並行であるような二次関数は1点でしかy軸と交点を持たないので、Dny軸上の格子点
(x,y)=(0,0),(0,1),,(0,n)
n+1個を全て通るためには二次関数がn+1個必要である。よって用意した二次関数がDn上の格子点を全て通るにはn+1Fnが必要なので補題3は示された

答え!

Fn=n+1

補題2,3よりn+1Fnn+1⭐︎である。Fnは整数であるので⭐︎を満たすようなFnFn=n+1のみ!よって答えはFn=n+1

おまけ

補題1を用いてanの数を求めてみる。
一般に先ほど用いたmn<m+1(mZ)なるmを用いてbnbn=2m+1と表される。

mn<m+1を満たす整数n
mn<m+1m2n<(m+1)2
より2m+1個存在するのでy=fm2(x),fm2+1,fm2+3,,f(m+1)21(x)y0の部分に含まれる格子点の数は
k=m2(m+1)21bk=k=m2(m+1)212m+1=(2m+1)(2m+1)=4m2+4m+1
よってn=NでありNMN<M+1と表される時
aN=k=0Nbk=k=0M1{i=k2(k+1)21bi}+k=M2Nbk=k=0M1(4k2+4k+1)+k=M2N2M+1=1+k=1M1(4k2+4k+1)+(NM2+1)(2M+1)=1+13(4M3M3)+(NM2+1)(2M+1)=(2M+1)(N+1)13M(M+1)(2M+1)
と求まり、最初にx=kで固定したものを足し合わせる方法の答えと一致することも確認できる。
(※Wolfram Alphaが計算したから間違いない 図3参照)
愛してるよ!Wolfram Alpha! 愛してるよ!Wolfram Alpha!

投稿日:2024627
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Yorororor

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