放物線内を埋め尽くす!
と軸とで囲まれる領域とその領域の周によって作られる領域をとする。この時に含まれる格子点を全て通るように軸が軸と並行であるような二次関数を配置する時必要な二次関数の数のうち最も小さいものをとする。を求めよ。
ただし格子点とは座標と座標がともに整数である点とする。
まず題意を満たす範囲にある格子点の数を求める。
となるのはとなるときなのでなるを用いて上の題意を満たす格子点は
の計個なのでこれをからの範囲で足し合わせればよい。
は軸で対称ゆえ
となり、特にの時
実際にを代入してみればであり図からもであることが伺える。
の時
まず(当たり前だが)を満たすに対してとが共有点を持たないことを示す。
よってであるのでとは共有点を持たない
次にを満たす範囲に有利点が存在しないことを示す。
もしを満たす範囲に格子点が存在するならばその点の座標は
を必ず満たす。しかしを満たすを用意して上でを満たす点について調べるとでありを満たす整数が存在しない。
故にを満たす範囲に格子点は存在しない
よりには含まれるがには含まれないような点は全て上に存在するこのような点の個数はまさにであるのでとについて次のような漸化式がもとまり
また、より
補題は示された
グラフを実際に眺めてみると感覚的にもわかりやすい!
の場合
補題より次のことがわかる
補題より個の放物線によってに含まれる格子点を全て通ることができるのでとなり、補題は示された
用意した二次関数が上の格子点を全て通るにはすなわちの軸上の格子点を全て通る二次関数が用意した二次関数の中に存在することが必要である。
軸が軸と並行であるような二次関数は点でしか軸と交点を持たないので、の軸上の格子点
計個を全て通るためには二次関数が個必要である。よって用意した二次関数が上の格子点を全て通るにはが必要なので補題は示された
補題より⭐︎である。は整数であるので⭐︎を満たすようなはのみ!よって答えは
おまけ
補題を用いての数を求めてみる。
一般に先ほど用いたなるを用いてはと表される。
を満たす整数は
より個存在するのでのの部分に含まれる格子点の数は
よってでありがと表される時
と求まり、最初にで固定したものを足し合わせる方法の答えと一致することも確認できる。
(※Wolfram Alphaが計算したから間違いない 図参照)
愛してるよ!Wolfram Alpha!