$$\newcommand{BA}[0]{\begin{align*}}
\newcommand{BC}[0]{\begin{cases}}
\newcommand{BE}[0]{\begin{equation}}
\newcommand{bl}[0]{\boldsymbol}
\newcommand{BM}[0]{\begin{matrix}}
\newcommand{D}[0]{\displaystyle}
\newcommand{EA}[0]{\end{align*}}
\newcommand{EC}[0]{\end{cases}}
\newcommand{EE}[0]{\end{equation}}
\newcommand{EM}[0]{\end{matrix}}
\newcommand{h}[0]{\boldsymbol{h}}
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\newcommand{L}[0]{\left}
\newcommand{l}[0]{\boldsymbol{l}}
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\newcommand{n}[0]{\boldsymbol{n}}
\newcommand{R}[0]{\right}
\newcommand{vep}[0]{\varepsilon}
$$
1．結果
$\hspace{5pt}$$\kappa(x)$を
$\BA\D \kappa(x):=\sum_{n=0}^\infty \beta_n^2x^n \EA$
と定義し、法$4$の原始$\rm Dirichlet$指標を
$\BA\D \chi_{-4}^{}(d)=\BC &0, &d\equiv0\quad({\rm mod}\,\,2)\\&1, &d\equiv1\quad({\rm mod}\,\,4)\\&-1, &d\equiv3\quad({\rm mod}\,\,4) \EC \EA$
とします。また、$|q|<1$に対して$\rm Jacobi$のテータ関数を
$\BA\D \vartheta_2(q)=\sum_{m\in{\mathbb Z}}q^{\L(m+\frac{1}{2}\R)^2},\qquad \vartheta_3(q)=\sum_{m\in{\mathbb Z}}q^{m^2},\qquad \vartheta_4(q)=\sum_{m\in{\mathbb Z}}(-1)^mq^{m^2}\EA$
とします。
$\hspace{5pt}$このとき、多項式$p_n(x)$を
$\BA\D (1):\quad\boxed{\quad \sum_{n=0}^\infty p_n(x)(-16q)^n=\frac{64q^{\frac{3}{2}}}{\vartheta_2(q)^6\big(\vartheta_4(q)^4+x\vartheta_2(q)^4\big)} \quad} \EA$
で定義します。右辺は$q=0$で正則であり、$p_n(x)\in{\mathbb Q}[x],\,\,\deg p_n(x)=n$かつ$p_n(x)$はモニックです。
$\hspace{5pt}$また、積分核を
$\BA\D H(x):=\L(\frac{\pi}{2}\R)^5\Big(61\kappa(x)^5-220\kappa(x)^3\kappa(1-x)^2+80\kappa(x)\kappa(1-x)^4\Big) \EA$
とします。
定理 1$\BA\D \int_0^1 p_0(x)H(x)\,dx=\int_0^1 p_1(x)H(x)\,dx=0 \EA$
であり、任意の整数$n\ge2$に対して
$\BA\D (2):\quad\boxed{\quad \int_0^1 p_n(x)H(x)\,dx=\frac{15}{16^{n-3}}\sum_{d|2n-3}\frac{\chi_{-4}^{}(d)}{d^6} \quad} \EA$
となります。
2．$\rm Cauchy{\textrm -}Stieltjes$変換とテータ一様化
$\hspace{5pt}$$H(x)$の$\rm Cauchy{\textrm -}Stieltjes$変換を
$\BA\D F(z):=\int_0^1 \frac{H(x)}{1-zx}\,dx,\qquad |z|<1 \EA$
とします。また
$\BA\D z=z(q):=-\frac{\vartheta_2(q)^4}{\vartheta_4(q)^4},\qquad {\cal L}(q):=\sum_{m=0}^\infty \frac{1}{\qty(2m+1)^6}\frac{q^{m+\frac{1}{2}}}{1+q^{2m+1}} \EA$
とおきます。$(2)$式を生成する母関数恒等式は次のように与えられます。
命題 2$\hspace{5pt}$$|q|<1$において
$\BA\D (3):\quad\boxed{\quad F\big(z(q)\big)=960\,\vartheta_2(q)^6\vartheta_4(q)^4{\cal L}(q) \quad} \EA$
$Proof.$$\D\Theta=z\frac{d}{dz}$とおきます。$\kappa(x)$は$\rm Gauss$方程式
$\BA\D x(1-x)y''+(1-2x)y'-\frac{1}{4}y=0 \EA$
を満たし、この第$5$対象冪を作成し、基底$\kappa(x)^i\kappa(1-x)^{5-i}\,\,(i=0,1,2,3,4,5)$上で消去すると、$H(x)$に対応する$\rm Cauchy{\textrm -}Stieltjes$変換は
$\BA\D (4):\quad{\scr D}F(z)=\frac{240z^2(1+44z+16z^2)}{1-z} \EA$
を満たします。ここで
$\BA\D {\scr D}=(2\Theta-3)^6-2zA(\Theta-1)+20z^2B\L(\Theta-\frac{1}{2}\R)-20z^3B(\Theta)+2z^4A\L(\Theta-\frac{1}{2}\R)-64z^5(\Theta+1)^6 \EA$
と表されます。ただし
$\BA\D A(u)=1+66u^2+320u^4+160u^6,\qquad B(u):=2+47u^2+96u^4+32u^6 \EA$
です。$(4)$式の導出で必要な端点項は、$x=0,\,1$における$\kappa(x),\,\kappa(1-x)$の漸近展開から得られます。対数発散を含む項は、係数$1,\,-220,\,80$の組み合わせによって相殺され、残る有理関数が右辺です。
$\hspace{5pt}$次に$\rm Jacobi$の恒等式
$\BA\D \vartheta_3(q)^4=\vartheta_2(q)^4+\vartheta_4(q)^4,\qquad \lambda(q)=\frac{\vartheta_2(q)^4}{\vartheta_3(q)^4},\qquad z(q)=-\frac{\lambda(q)}{1-\lambda(q)} \EA$
を用います。直接微分することで、任意の正則関数$Y(q)$に対して
$\BA\D (5):\quad \lim_{z\to z(q)}{\scr D}\,\vartheta_2(q)^6\vartheta_4(q)^4Y(q)=\frac{64\,\vartheta_2(q)^6}{\vartheta_3(q)^4\,\vartheta_4(q)^{16}}\L(q\frac{d}{dq}\R)^6Y(q) \EA$
が成り立ちます。
$\hspace{5pt}$一方で、絶対収束域で項別微分すると
$\BA\D \L(q\frac{d}{dq}\R)^6{\cal L}(q)=\frac{1}{64}\sum_{m=0}^\infty \sigma_{6,\chi_{-4}^{}}^{}(2m+1)q^{m+\frac{1}{2}},\qquad \sigma_{6,\chi_{-4}^{}}^{}(r):=\sum_{d|r}\chi_{-4}^{}(d)d^6 \EA$
となります。重さ$7$、レベル$4$、指標$\chi_{-4}^{}$の$\rm Eisenstein$級数の$\rm Fourier$展開から
$\BA\D (6):\quad \sum_{m=0}^\infty \sigma_{6,\chi_{-4}^{}}^{}(2m+1)q^{m+\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}\vartheta_2(q)^2\vartheta_4(q)^4\Big(16\vartheta_2(q)^8-44\vartheta_2(q)^4\vartheta_4(q)^4+\vartheta_4(q)^8\Big) \EA$
を得ます。
$\hspace{5pt}$$(5)$式に$Y(q)=960{\cal L}(q)$を代入して、$(6)$式と$\D 1-z(q)=\frac{\vartheta_3(q)^4}{\vartheta_4(q)^4}$を用いることで、$(5)$式の右辺と$(4)$式の右辺は一致します。したがって
$\BA\D G(z):=F(z)-960\,\vartheta_2(q)^6\vartheta_4(q)^4{\cal L}(q),\qquad z=z(q) \EA$
は${\scr D}G(z)=0$を満たします。$G(z)=g_0+g_1z+g_2z^2+\cdots$と展開できるとき、${\scr D}G(z)=(-3)^6g_0+z(g_1+\cdots)+z^2(g_2+\cdots)+\cdots$となるので、$g_0=0$とわかります。また、$(2m-3)^6g_m$は$g_0,\,g_1,\,\cdots,\,g_{m-1}$の線形結合で表されるので、$m\ge0$に対して帰納的に$g_m=0$となります。
両辺は$z=0$で正則なので$G(z)=0$すなわち$(3)$式が成り立ちます。$\Box\qquad$
3．定理 1 の証明
$Proof.$$(1)$式に$H(x)$を掛けて$0< x<1$で積分します。$|q|$が十分に小さいとき一様収束するので、和と積分を交換できます。命題 2 より
$\BA\D (7):\quad \sum_{n=0}^\infty \L(\int_0^1p_n(x)H(x)\,dx\R)(-16q)^n=61440\,q^{\frac{3}{2}}{\cal L}(q) \EA$
です。$\rm Lambert$級数を展開すると
$\BA\D q^{\frac{3}{2}}{\cal L}(q)=\sum_{m=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty \frac{(-1)^j}{\qty(2m+1)^6}q^{\frac{3+(2m+1)(2j+1)}{2}} \EA$
です。よって$n\ge2$に対して$q^n$の係数は、$\D\chi_{-4}^{}\!\L(\frac{2n-3}{r}\R)=\chi_{-4}^{}(2n-3)\,\chi_{-4}^{}(r),\,\,\chi_{-4}^{}(2n-3)=(-1)^n$を用いて
$\BA\D \sum_{d|2n-3}\frac{(-1)^{\frac{1}{2}\L(\frac{2n-3}{d}-1\R)}}{d^6}=(-1)^n\sum_{d|2n-3}\frac{\chi_{-4}^{}(d)}{d^6} \EA$
しがたって$(2)$式を得ます。
右辺の最初の冪は$q^2$なので、$n=0,\,1$の積分値は零です。$\Box\qquad$
4．一般論
$\hspace{5pt}$結果的に、$2$以上の整数$r$に対して$p_n^{[r]}(x),\,H_r(x),\,F_r(z)$へ一般化して、統一的な表示を与えることができました。
すなわち$p_n^{[r]}(x)$を
$\BA\D \sum_{n=0}^\infty p_n^{[r]}(x)(-16q)^n:=\L(\frac{2q^{\frac{1}{4}}}{\vartheta_2}\R)^{2r-6-2\varepsilon_r}\frac{1}{\vartheta_3^{2\varepsilon_r}\L(\vartheta_4^4+x\vartheta_2^4\R)},\qquad \varepsilon_r:=\BC &0 &(r:{\rm even})\\ &1 &(r:{\rm odd}) \EC \EA$
で定義して、$H_r(x)$を
$\BA\D H_{2m}(x)&:=\L(\frac{\pi}{2}\R)^{2m-1}\sum_{j=1}^m(-1)^{m-j}\binom{2m-1}{2j-1}\L(\sum_{i=0}^{j-1}\binom{2j-1}{2i}C_{2i}C_{2m-2i-1}\R)\kappa(x)^{2j-1}\kappa(1-x)^{2m-2j}\\ H_{2m+1}(x)&:=\L(\frac{\pi}{2}\R)^{2m}\sqrt{1-x}\sum_{j=0}^m(-1)^{m-j}\binom{2m}{2j}\L(\sum_{i=0}^{j}\binom{2j}{2i}C_{2i}C_{2m-2i}\R)\kappa(x)^{2m-2j}\kappa(1-x)^{2j} \EA$
で定義します。ただし$C_n$は
$\BA\D \frac{1+\sin t}{\cos t}=\sum_{n=0}^\infty C_n\frac{t^n}{n!} \EA$
で与えられます。また
$\BA\D a_r:=\L\lfloor \frac{r}{2}-1 \R\rfloor,\qquad \eta_r:=(-1)^{(r-1)\L(\frac{r}{2}+1\R)},\qquad {\cal L}_r(q):=\sum_{m=0}^\infty \frac{1}{\qty(2m+1)^r}\frac{q^{m+\frac{1}{2}}}{1+(-1)^rq^{2m+1}} \EA$
として、
$\BA\D &M_{r,n}:=\BC &\D 2(-1)^{nr}\frac{(r-1)!}{16^{n-a_r}}\sum_{d|2n-2a_r+1}\frac{\chi_{-4}^{}(d)^{r+1}}{d^r} &(n\ge a_r) \\ &0 & (0\le n\le a_r-1) \EC\\ \\ &F_r(z):=8\,\eta_r(r-1)!\,\vartheta_2^{2r-6-2\varepsilon_r}\vartheta_3^{2\varepsilon_r}\vartheta_4^4{\cal L}_r(q) \EA$
と定義します。
$\hspace{5pt}$このとき
定理 4.1$\hspace{5pt}r\ge 2$に対して
$\BA\D \int_0^1 p_n^{[r]}(x)H_r(x)\,dx=M_{r,n},\qquad \int_0^1 \frac{H_r(x)}{1-zx}\,dx=F_r(z) \EA$
が成り立ちます。
$\hspace{5pt}$$r=1$については
定理 4.2
$\BA\D \sum_{n=0}^\infty p_n^{[1]}(x)(-16q)^n:=\frac{\vartheta_2^2\vartheta_3^2}{4q^{\frac{1}{2}}\!\L(\vartheta_4^4+x\vartheta_2^4\R)},\qquad H_1(x):=\frac{1}{\sqrt{1-x}},\qquad M_{1,n}:=\frac{2(-1)^n}{16^n}\sum_{d|2n+1}\frac{1}{d},\qquad F_1(z)=8\frac{\vartheta_4^4}{\vartheta_2^2\vartheta_3^2}{\cal L}_1(q) \EA$
という関係になっています。
5．補足
$\hspace{5pt}H_r(x)$の生成関数は、$u:=\frac{\pi}{2}\kappa(x),\,\,v:=\frac{\pi}{2}\kappa(1-x)$とおいて
$\BA\D &\sum_{m=1}^\infty H_{2m}(x)\frac{t^{2m-1}}{(2m-1)!}=\frac{\sin ut}{\cos^2ut+\sinh^2vt} \\ &\sum_{m=1}^\infty H_{2m+1}(x)\frac{t^{2m}}{(2m)!}=\sqrt{1-x}\,\frac{\cosh ut}{\cos^2vt+\sinh^2ut} \EA$
と書けます。
