大学への数学24年5月号の宿題の一般化を考える

原題
$x,y$座標をそれぞれ$n$変数$a_i(i=1,2…n)(n \geq 2)$の総和と二つの積の総和の場合について考えます
間違ってるかもしれません,
方針は原題とほぼ同じようにして解きます
総和と二つの積の総和の$n$変数版を$x_n,y_n$とする

(解)

(★)が求める範囲であることを数学的帰納法により証明する
(Ⅰ)$n=2,3$のとき成立(省略します)
(Ⅱ)$2$以上$n$以下の全ての整数において(★)が成立すると仮定して$n+1$のとき考える
$x_{n+1}$を固定して$y_{n+1}$の動きうる範囲を考える
(最大値について)
$y_{n+1}= \frac{1}{2} (x_{n+1}^2-( \sum_{i=1}^{n+1}a_i^2 ))$
$\sum_{i=1}^{n+1}a_i^2 $の最小値を考えればよい
$a_i= \frac{x_{n+1}}{n+1}+b_i $とおくと
ただし$\sum_{i=1}^{n+1}b_i=0$
$\sum_{i=1}^{n+1}a_i^2= \frac{x_{n+1}^2}{n+1}+ \sum_{i=1}^{n+1}b_i^2$
となり$b_i=0(i=1,…n+1)$のとき最小値$\frac{x_{n+1}^2}{n+1}$となる
このとき$y_{n+1}$は最大値$ \frac{n}{2(n+1)}x_{n+1}^2 $を取る
(最小値について)
(甲)$0 \leq x_{n+1} \leq1$のとき
$(a_1,a_2,…,a_n,a_{n+1})=(0,0,…,0,x_{n+1})$すると$y_{n+1}=0$
$0\leq y_{n+1}$より最小値$0$を取る
(乙)$1 \leq x_{n+1} \leq n-1$のとき
$(x_{n+1},y_{n+1})=(x_n+a_{n+1},x_na_{n+1}+y_n)$
$y_{n+1}=(x_{n+1}-a_{n+1})a_{n+1}+y_n$
この場合は一つ前の操作と同様に扱うことができて
((★)の仮定が得られるのならこうなるはずで,そこも提示すべきですが)
最小値は$k \leq x_{n+1} \leq k+1(k=1,2…n-2) $に対して $kx_{n+1}- \frac{k(k+1)}{2}$を取り
(丁)$n-1 \leq x_{n+1} \leq n$のとき
$x_{n+1}-1\leq x_n \leq n-1 $のときは一つ前の操作で最小値が$(n-1)x_{n+1}+ \frac{n(n-1)}{2} $であることがわかる
$n-1\leq x_n \leq x_{n+1} $の場合も最小値も同じであることを示す
このとき$0\leq a_{n+1} \leq x_{n+1}-(n+1) $となり
このとき(★)の仮定より
$y_{n+1} \geq(x_{n+1}-a_{n+1})a_{n+1}+(n-1)(x_{n+1}-a_{n+1})-\frac{n(n-1)}{2}$
$(=-a_{n+1}^2+(x_{n+1}-n+1)a_{n+1}+(n-1)x_{n+1}-\frac{n(n-1)}{2})$
よって最小値は$a_{n+1}=0$または$x_{n+1}-(n+1)$のときとり,
どちらの場合も最小値$(n-1)x_{n+1}- \frac{n(n-1)}{2} $をとる
(丙)$n \leq x_{n+1} \leq n+1$のとき
このとき
$x_{n+1}-n\leq a_{n+1}\leq1 $を動きうり,
(丁)の場合と同様にして
$y_{n+1}\geq-a_{n+1}^2+(x_{n+1}-n+1)a_{n+1}+(n-1)x_{n+1}-\frac{n(n-1)}{2}$
よって最小値は$a_{n+1}=x_{n+1}-n$または$1$のときとり,
どちらの場合も最小値$nx_{n+1}- \frac{n(n+1)}{2} $をとる
求めた
$x_{n+1}$に対して$y_{n+1}$に
最大値を与える$(a_1,a_2,…,a_{n+1})$を$(a_{M,1},a_{M,2}…,a_{M,n+1})$
最小値を与える$(a_1,a_2,…,a_{n+1})$を$(a_{m,1},a_{m,2},…,a_{m,n+1})$
として$0\leq s\leq 1$に対して
$a_{s,i}=sa_{M,1}+(1-s)a_{m,1} (i=1,2,…,n+1)$
と定めるこのとき
$ \sum_{i=1}^{n+1}a_{s,i}=x_{n+1} $かつ$0\leq a_{s,i}\leq 1(i=1,2,…,n+1)$
を満たし,$0\leq s\leq 1$の範囲で動かすと
$y_{n+1}$は先に求めた最大値以下最小値以上の全ての実数をとりうる
以上より$2$以上の全ての整数$n$について(★)が動きうる範囲である